Resolva as equações diferenciais seguintes por variação de parâmetros.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a EDO não-homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
usando variação de parâmetros. Vamos precisar da solução geral da homogênea, do Wronskiano e das fórmulas para u₁’ e u₂’.
Passo 2
Primeiro encontramos a solução da equação homogênea associada
A equação característica é
, que tem raiz dupla
. Logo a solução homogênea é
Passo 3
Para aplicar variação de parâmetros, escolhemos as soluções fundamentais
O Wronskiano é
E as fórmulas padrão dão
Passo 4
Agora integramos
e
:
Para
:
Usando integração por partes em
(com
,
) chega-se a
Logo, desprezando constante,
Para
:
Passo 5
A solução particular é
Substituindo
e
e agrupando termos fica
Portanto, a solução geral da EDO é a soma da homogênea com a particular.