Resolva as equações diferenciais seguintes por variação de parâmetros.
y^prime prime-2 y^prime+y=e^t arctg t

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO não-homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y''-2y'+y=e^tarctan t
usando variação de parâmetros. Vamos precisar da solução geral da homogênea, do Wronskiano e das fórmulas para u₁’ e u₂’.

Passo 2

Primeiro encontramos a solução da equação homogênea associada
y''-2y'+y=0
A equação característica é r^2-2r+1=0, que tem raiz dupla r=1. Logo a solução homogênea é
yh(t)=C1e^t+C2te^t

Passo 3

Para aplicar variação de parâmetros, escolhemos as soluções fundamentais
y1(t)=e^t, y2(t)=te^t
O Wronskiano é
W=y1y2'-y1'y2=e^tigl(e^t+te^tr)-e^tcdot te^t=e^2t 
E as fórmulas padrão dão
u1'=-g(t),y2W=-e^tarctan tcdot te^te^2t=-tarctan t,
u2'=g(t),y1W=e^tarctan tcdot e^te^2t=arctan t

Passo 4

Agora integramos nu1' e nu2':
Para nu1:
nu1=integral(-tarctan t),dt=-integral tarctan t,dt
Usando integração por partes em integral tarctan t,dt (com u=arctan t, dv=t,dt) chega-se a
integral tarctan t,dt=t^2+12arctan t- t2+C
Logo, desprezando constante,
nu1=-t^2+12arctan t+ t2
Para nu2:
nu2=integralarctan t,dt=tarctan t-12ln(1+t^2)

Passo 5

A solução particular é
yp=nu1e^t+nu2,t e^t
Substituindo nu1 e nu2 e agrupando termos fica
yp=e^tl(t^2-12arctan t+ t2l[1-ln(1+t^2)r]r)
Portanto, a solução geral da EDO é a soma da homogênea com a particular.

Passo 6

Resposta

y(t)=C1e^t+C2te^t+e^tl(tfract^2-12arctan t+tfrac t2l[1-ln(1+t^2)r]r)

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