Resolva as equações diferenciais a seguir, de forma explícita ou implícita.
2 x y d y+(1+x^2) d x=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
2xy,dy + (1 + x^2),dx = 0
O conteúdo aqui é de equações diferenciais na forma de diferencial exata e fator integrante.

Passo 2

Reescrevendo como
M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0
temos
M(x,y)=1+x^2, N(x,y)=2xy
Para ser exata deve valer partial Mpartial y=partial Npartial x. Calculamos
partial Mpartial y=0, partial Npartial x=2y,
como não são iguais, a equação não é exata.

Passo 3

Procuramos um fator integrante mu(x) dependente só de x. A condição para mu(x) é
partialpartial yl(Mmur) = partialpartial xl(Nmur)
Equivalente a
partial Mpartial y-partial Npartial xN = -2y2xy = -1x,
que depende apenas de x. Logo
dlnmudx=-1x Rightarrow lnmu=-ln|x| Rightarrow mu(x)=1x

Passo 4

Multiplicando a equação original por mu(x)=1/x obtemos
1+x^2x,dx + 2y,dy = 0
Agora
widetilde M=(1+x^2)/x e widetilde N=2y satisfazem
partialwidetilde M/partial y=0 e partialwidetilde N/partial x=0, ou seja, é exata.

Passo 5

Encontramos uma função potencial psi(x,y) tal que
partialpsipartial x =1+x^2x = 1x + x, partialpsipartial y=2y
Integramos em x:
psi(x,y)=integrall(1x+xr),dx + h(y) =ln|x|+x^22+h(y)
Como partialpsi/partial y= h'(y)=2y, segue h(y)=y^2. Logo
psi(x,y)=ln|x|+x^22+y^2

Resposta

A solução geral, de forma implícita, é
ln|x|+x^22+y^2=C,
onde C é constante de integração.

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