Resolva as equações diferenciais separáveis abaixo:
\frac{d y}{d x}=\left(\frac{2 y+3}{4 x+5}\right)^{2}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial separável
\frac{dy}{dx}=\Bigl(\frac{2y+3}{4x+5}\Bigr)^{2}.
O conteúdo é “equações de variáveis separáveis”: vamos isolar os termos em y de um lado e os termos em x do outro e depois integrar.

Passo 2

Reescrevendo a equação, temos
\frac{dy}{dx}=\frac{(2y+3)^{2}}{(4x+5)^{2}},
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(2y+3)^{-2}\,dy=(4x+5)^{-2}\,dx.

Passo 3

Agora integramos ambos os lados:
\int(2y+3)^{-2}\,dy \;=\;\int(4x+5)^{-2}\,dx.
Para o lado esquerdo use u=2y+3, du=2\,dy, de modo que
\int(2y+3)^{-2}\,dy =\int u^{-2}\,\frac{du}{2} =-\frac{1}{2\,u} =-\frac{1}{2(2y+3)}.
Para o lado direito use v=4x+5, dv=4\,dx, assim
\int(4x+5)^{-2}\,dx =\int v^{-2}\,\frac{dv}{4} =-\frac{1}{4\,v} =-\frac{1}{4(4x+5)}.
Igualando e somando uma constante C,
-\frac{1}{2(2y+3)}=-\frac{1}{4(4x+5)}+C.

Passo 4

Multiplicando por -1 e rearranjando,
\frac{1}{2(2y+3)}=\frac{1}{4(4x+5)}+C \quad\Longrightarrow\quad \frac{2}{2y+3}=\frac{1}{4x+5}+C',
onde C'=2C é nova constante. Portanto
\frac{2}{2y+3}-\frac{1}{4x+5}=C'.
Isolando y, escrevemos
\frac{2}{2y+3} =\;C'+\frac{1}{4x+5} =\frac{C'(4x+5)+1}{4x+5} \;\Longrightarrow\; 2y+3 =\frac{2(4x+5)}{C'(4x+5)+1}.
Finalmente,
y =\frac{1}{2}\,\frac{2(4x+5)}{C'(4x+5)+1}-\frac{3}{2} =\frac{4x+5}{C'(4x+5)+1}-\frac{3}{2}.

Resposta

\boxed{ y(x)=\frac{4x+5}{C\,(4x+5)+1}-\frac{3}{2}, }
onde C é a constante de integração.

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