Resolva as equações diferenciais separáveis abaixo:
\frac{y}{x} \frac{d y}{d x}=\left(1+x^{2}\right)^{-1 / 2}\left(1+y^{2}\right)^{1 / 2}

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
\frac{y}{x}\,\frac{dy}{dx} = (1+x^{2})^{-\tfrac12}\,(1+y^{2})^{\tfrac12}
e pede para resolver por separação de variáveis. O conteúdo é EDO separável, onde vamos isolar termos em y com dy de um lado e termos em x com dx do outro, e depois integrar cada lado.

Passo 2

Reescrevemos a derivada explicitamente e separamos:
\frac{dy}{dx} = \frac{x}{y}\,\sqrt{\frac{1+y^{2}}{1+x^{2}}}
Multiplicamos ambos os lados por \tfrac{y}{\sqrt{1+y^2}} e por dx para obter
\frac{y}{\sqrt{1+y^{2}}}\,dy = \frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}\,dx.

Passo 3

Agora integramos os dois lados:
\int \frac{y}{\sqrt{1+y^{2}}}\,dy = \int \frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}\,dx.

Passo 4

Cada integral é padrão. No lado esquerdo, use u=1+y^2, du=2y\,dy, e obtemos
\int \frac{y}{\sqrt{1+y^{2}}}\,dy = \sqrt{1+y^{2}} + C_{1}.
No lado direito, analogamente com v=1+x^2, dv=2x\,dx, vem
\int \frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}\,dx = \sqrt{1+x^{2}} + C_{2}.

Passo 5

Igualando as duas primitivas e juntando constantes, escrevemos a solução geral de forma implícita:
\sqrt{1+y^{2}} = \sqrt{1+x^{2}} + C,
onde C = C_{2}-C_{1} é a constante de integração.

Resposta

\boxed{\sqrt{1+y^{2}} = \sqrt{1+x^{2}} + C.}

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