Resolva as equações diferenciais separáveis abaixo:
\left(e^{y}+1\right)^{2} e^{-y} d x+\left(e^{x}+1\right)^{3} e^{-x} d y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial separável
(e^{y}+1)^{2}\,e^{-y}\,dx \;+\;(e^{x}+1)^{3}\,e^{-x}\,dy \;=\;0.
O conteúdo aqui é separação de variáveis, ou seja, precisamos pôr todos os termos em y com dy de um lado e todos os termos em x com dx do outro.

Passo 2

Primeiro escrevemos \dfrac{dy}{dx} e isolamos cada parte:
(e^{y}+1)^{2}e^{-y}+\,(e^{x}+1)^{3}e^{-x}\,\frac{dy}{dx}=0 \;\;\Longrightarrow\;\; \frac{dy}{dx} =-\frac{(e^{y}+1)^{2}e^{-y}}{(e^{x}+1)^{3}e^{-x}}.
Agora separamos variáveis:
\frac{e^{y}}{(e^{y}+1)^{2}}\,dy \;=\; -\,\frac{e^{x}}{(e^{x}+1)^{3}}\,dx.

Passo 3

Integramos ambos os lados:
\int \frac{e^{y}}{(e^{y}+1)^{2}}\,dy \;=\; \int -\,\frac{e^{x}}{(e^{x}+1)^{3}}\,dx.

Passo 4

Para a integral em y, use t=e^{y}+1\implies dt=e^{y}dy:
\int \frac{e^{y}}{(e^{y}+1)^{2}}\,dy =\int \frac{dt}{t^{2}} =-\frac{1}{t} =-\frac{1}{e^{y}+1}.

Passo 5

Para a integral em x, use u=e^{x}+1\implies du=e^{x}dx:
\int -\frac{e^{x}}{(e^{x}+1)^{3}}\,dx =\int -\frac{du}{u^{3}} =\frac{1}{2\,u^{2}} =\frac{1}{2\,(e^{x}+1)^{2}}.

Passo 6

Juntando os resultados e incluindo a constante C:
-\frac{1}{e^{y}+1} =\frac{1}{2\,(e^{x}+1)^{2}}+C.
Podemos reescrever de forma mais simpática, multiplicando por -1 e agrupando constantes:
\frac{1}{e^{y}+1} +\frac{1}{2\,(e^{x}+1)^{2}} =K,
em que K é constante arbitrária.

Resposta

A solução geral, de forma implícita, é
\boxed{\frac{1}{e^{y}+1} \;+\;\frac{1}{2\,(e^{x}+1)^{2}} = K,}
onde K é constante de integração.

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