Resolva as equações diferenciais separáveis abaixo:
\frac{d y}{d x}=\operatorname{sen} x\left(\cos 2 y-\cos ^{2} y\right)

Passo 1

O enunciado pede a solução da EDO
\frac{dy}{dx} = \sin x \,\bigl(\cos 2y - \cos^2 y\bigr)
O conteúdo aqui é separação de variáveis, e vamos precisar usar uma identidade trigonométrica para simplificar a parte em y.

Passo 2

Colocamos todos os termos em y de um lado e em x do outro:
\frac{dy}{\cos 2y - \cos^2 y} = \sin x \,dx.

Passo 3

Usamos \cos 2y = 2\cos^2 y - 1, então
\cos 2y - \cos^2 y = (2\cos^2 y - 1) - \cos^2 y = \cos^2 y - 1 = -\sin^2 y.
Assim a equação fica
\frac{dy}{-\,\sin^2 y} = \sin x\,dx \quad\Longrightarrow\quad -\,\csc^2 y\,dy = \sin x\,dx.

Passo 4

Integramos cada lado:
\int -\csc^2 y\,dy = \int \sin x\,dx.
Como \frac{d}{dy}(\cot y) = -\csc^2 y e \int \sin x\,dx = -\cos x, obtemos
\cot y = -\cos x + C,
com C constante de integração.

Passo 5

Reescrevendo, a forma implícita da solução geral é
\cot y + \cos x = C.
Se quisermos explicitar y, basta inverter a cotangente:
y(x) = \operatorname{arccot}\bigl(C - \cos x\bigr).

Resposta

\cot y + \cos x = C, ou equivalentemente
y(x) = \operatorname{arccot}\bigl(C - \cos x\bigr).

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