Resolva as equações diferenciais separáveis abaixo:
\left(y-y x^{2}\right) \frac{d y}{d x}=(y+1)^{2}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial separável
(y - y\,x^{2})\,\frac{dy}{dx} = (y+1)^{2}.
O conteúdo principal é o método de separação de variáveis: vamos isolar todos os termos em y com dy de um lado e todos os termos em x com dx do outro, e então integrar.

Passo 2

Primeiro, colocamos a derivada dy/dx sozinha:
\frac{dy}{dx} = \frac{(y+1)^{2}}{y\,(1 - x^{2})}.
Agora separamos as variáveis em dois fatores:
\frac{y}{(y+1)^{2}}\,dy = \frac{dx}{1 - x^{2}}.

Passo 3

Integramos dos dois lados:
\int \frac{y}{(y+1)^{2}}\,dy \;=\;\int \frac{dx}{1 - x^{2}}.

Passo 4

Cálculo das integrais:
  1. Para a integral em y, fazemos u = y+1, logo du = dy e y = u - 1.
    \int \frac{y}{(y+1)^{2}}\,dy = \int \frac{u-1}{u^{2}}\,du = \int \Bigl(\frac{1}{u} - \frac{1}{u^{2}}\Bigr)\,du = \ln\!\bigl|u\bigr| + \frac{1}{u} + C_{1} = \ln\!\bigl|y+1\bigr| + \frac{1}{y+1} + C_{1}.
  2. Para a integral em x, usamos a primitiva padrão:
    \int \frac{dx}{1 - x^{2}} = \operatorname{arctanh}(x) + C_{2}.
Igualando e reunindo as constantes ( C = C_{2}-C_{1}), obtemos
\ln\!\bigl|y+1\bigr| + \frac{1}{y+1} = \operatorname{arctanh}(x) + C.

Passo 5

A solução geral da equação diferencial fica dada implicitamente por
\boxed{ \ln\!\bigl|y+1\bigr| + \frac{1}{y+1} = \operatorname{arctanh}(x) + C, }
onde C é a constante de integração.

Resposta

\ln\!\bigl|y+1\bigr| + \frac{1}{y+1} = \operatorname{arctanh}(x) + C.

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