Resolva as equações diferenciais usando o método dos coeficientes a determinar.
y^prime prime+2 y^prime+y=x e^-x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem
y'' + 2y' + y = x e^-x
usando o método dos coeficientes a determinar. Vamos precisar encontrar primeiro a solução geral da parte homogênea e depois um particular que atenda ao termo não homogêneo.

Passo 2

Começamos pela parte homogênea:
yh'' + 2yh' + yh = 0
A equação característica é
r^2 + 2r + 1 = 0,
que tem raiz dupla r = -1. Logo a solução homogênea é
yh(x) = C1 e^-x + C2 x e^-x

Passo 3

Para o particular usamos o método dos coeficientes a determinar. Como o termo não homogêneo é x e^-x e e^-x, x e^-x já aparecem na homogênea (multiplicidade s=2), escolhemos
yp(x) = x^2(Ax + B)e^-x

Passo 4

É mais prático escrever yp(x)=u(x)e^-x com u(x)=Ax^3+Bx^2. Então calculamos:
yp'=(u'-u)e^-x,
yp''=(u''-2u'+u)e^-x
Substituindo em y''+2y'+y obtemos
yp''+2yp'+yp=(u''-2u'+u+2u'-2u+u)e^-x=u''(x)e^-x

Passo 5

Impondo u''(x)e^-x=x e^-x cancelamos e^-x e fica
u''(x)=x
Integrando duas vezes:
u'(x)=x^22+C1,
u(x)=x^36+C1x+C2
Podemos tomar C1=C2=0 (esses termos só adicionariam componentes da homogênea), obtendo
u(x)=x^36,
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yp(x)=x^36e^-x

Passo 6

A solução geral da equação é a soma da homogênea com o particular:
y(x)=yh(x)+yp(x)=l(C1 + C2 xr)e^-x+x^36e^-x

Resposta

y(x)=l(C1 + C2 xr)e^-x+tfracx^36e^-x

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