Resolva as equações diferenciais usando o método dos coeficientes a determinar.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem
usando o método dos coeficientes a determinar. Vamos precisar encontrar primeiro a solução geral da parte homogênea e depois um particular que atenda ao termo não homogêneo.
Passo 2
Começamos pela parte homogênea:
A equação característica é
que tem raiz dupla
. Logo a solução homogênea é
Passo 3
Para o particular usamos o método dos coeficientes a determinar. Como o termo não homogêneo é
e
já aparecem na homogênea (multiplicidade
), escolhemos
Passo 4
É mais prático escrever
com
. Então calculamos:
Substituindo em
obtemos
Passo 5
Impondo
cancelamos
e fica
Integrando duas vezes:
Podemos tomar
(esses termos só adicionariam componentes da homogênea), obtendo
logo
Passo 6
A solução geral da equação é a soma da homogênea com o particular: