Terifique a convergência de cada série abaixo. Justifique sua resposta.
sumk=1^infty cos (7 k!)1+(1+10^-2)^k

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da série
sumk=1^infty cosl(7,k!r)1+l(1+10^-2r)^k
O conteúdo envolvido é teste de convergência de séries, em especial comparação com série geométrica.

Passo 2

Observamos que para todo k vale
l|cos(7,k!)r|<=1,
portanto os termos da série satisfazem
|cos(7,k!)1+(1+10^-2)^k| <= 11+(1+10^-2)^k

Passo 3

Note que (1+10^-2)=1,01>1, logo para todo k
1+(1,01)^k>=(1,01)^k Longrightarrow 11+(1,01)^k<=1(1,01)^k
Mas a série
sumk=1^infty1(1,01)^k
é geométrica de razão r=tfrac11,01<1, então converge. Pelo critério de comparação, a série dada converge em valor absoluto, isto é, converge absolutamente.

Resposta

A série converge absolutamente (e, portanto, converge).

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