Terifique a convergência de cada série abaixo. Justifique sua resposta.
sumk=1^infty(k^2+12 k^2+1)^k

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
sumk=1^inftyl(k^2+12k^2+1r)^k
O conteúdo que vamos usar é o teste da raiz de Cauchy, que analisa
L=limktoinftyraiz[k]ak
onde ak=l(tfrack^2+12k^2+1r)^k. Se L<1, a série converge absolutamente; se L>1, diverge; se L=1, o teste é inconclusivo.

Passo 2

Calculemos a k-ésima raiz do termo geral:
raiz[k]ak =raiz[k]l(k^2+12k^2+1r)^k =k^2+12k^2+1
Agora determinamos o limite quando ktoinfty:
L=limktoinftyk^2+12k^2+1 =12

Passo 3

Como obtivemos
L=tfrac12<1,
o teste da raiz de Cauchy garante que a série converge absolutamente.

Resposta

A série converge (convergência absoluta pelo teste da raiz de Cauchy).

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