Resolva as equações diferenciais a variáveis separáveis:
b)
b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é do tipo variáveis separáveis. A equação que temos é
com a condição inicial
. Pra resolver isso, vamos separar as variáveis
e
em lados diferentes da equação e depois integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos separar as variáveis. Isso significa colocar todos os termos com
de um lado e os termos com
do outro. A equação original é:
Podemos reescrever isso como:
Passo 3
Agora que conseguimos separar as variáveis, o próximo passo é integrar ambos os lados. Vamos integrar
em relação a
e
em relação a
:
Passo 4
Vamos fazer as integrações. A integral de
em relação a
é:
E a integral de
em relação a
é:
Então, temos:
Passo 5
Agora, vamos resolver para
. Primeiro, multiplicamos ambos os lados por
:
Podemos chamar
de
(ou simplesmente reescrever como
) para simplificar:
Então, invertendo ambos os lados para encontrar
:
Passo 6
Agora usamos a condição inicial para encontrar o valor de
. Sabemos que quando
,
:
Passo 7
Substituindo o valor de
na expressão de
:
Resposta
A solução da equação diferencial é
.