Resolva as equações diferenciais a variáveis separáveis:
b) dy/dx = y^2, y(0) = 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é do tipo variáveis separáveis. A equação que temos é com a condição inicial . Pra resolver isso, vamos separar as variáveis e em lados diferentes da equação e depois integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos separar as variáveis. Isso significa colocar todos os termos com de um lado e os termos com do outro. A equação original é:
Podemos reescrever isso como:

Passo 3

Agora que conseguimos separar as variáveis, o próximo passo é integrar ambos os lados. Vamos integrar em relação a e em relação a :

Passo 4

Vamos fazer as integrações. A integral de em relação a é:
E a integral de em relação a é:
Então, temos:

Passo 5

Agora, vamos resolver para . Primeiro, multiplicamos ambos os lados por :
Podemos chamar de (ou simplesmente reescrever como ) para simplificar:
Então, invertendo ambos os lados para encontrar :

Passo 6

Agora usamos a condição inicial para encontrar o valor de . Sabemos que quando , :

Passo 7

Substituindo o valor de na expressão de :

Resposta

A solução da equação diferencial é .

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