Resolva as equações diferenciais a variáveis separáveis:
d) x y' = (x^2 - 1) y^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é do tipo variáveis separáveis. O enunciado nos dá:
Para resolver esse tipo de equação, precisamos separar as variáveis e em lados opostos da equação para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos isolar . Dividindo ambos os lados por , temos:
Isso nos ajuda a ver mais claramente como separar as variáveis.

Passo 3

Agora, vamos separar as variáveis e . Queremos colocar todos os termos com de um lado e os termos com do outro. Para isso, dividimos ambos os lados por :
Assim, conseguimos separar as variáveis.

Passo 4

Vamos agora integrar ambos os lados da equação. A integral do lado esquerdo em relação a e a do lado direito em relação a :
Isso nos permitirá encontrar uma relação entre e .

Passo 5

Primeiro, calculamos a integral do lado esquerdo:
Agora, a integral do lado direito:
Integrando termo a termo:

Passo 6

Agora, juntamos as integrais dos dois lados:
Podemos combinar as constantes e em uma única constante :

Passo 7

Vamos isolar :
Podemos redefinir a constante como para simplificar:

Passo 8

Finalmente, isolamos para obter a solução geral da equação diferencial:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é a constante de integração.

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