Resolva as equações diferenciais a variáveis separáveis:
d)
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Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é do tipo variáveis separáveis. O enunciado nos dá:
Para resolver esse tipo de equação, precisamos separar as variáveis
e
em lados opostos da equação para facilitar a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos isolar
. Dividindo ambos os lados por
, temos:
Isso nos ajuda a ver mais claramente como separar as variáveis.
Passo 3
Agora, vamos separar as variáveis
e
. Queremos colocar todos os termos com
de um lado e os termos com
do outro. Para isso, dividimos ambos os lados por
:
Assim, conseguimos separar as variáveis.
Passo 4
Vamos agora integrar ambos os lados da equação. A integral do lado esquerdo em relação a
e a do lado direito em relação a
:
Isso nos permitirá encontrar uma relação entre
e
.
Passo 5
Primeiro, calculamos a integral do lado esquerdo:
Agora, a integral do lado direito:
Integrando termo a termo:
Passo 6
Agora, juntamos as integrais dos dois lados:
Podemos combinar as constantes
e
em uma única constante
:
Passo 7
Vamos isolar
:
Podemos redefinir a constante
como
para simplificar:
Passo 8
Finalmente, isolamos
para obter a solução geral da equação diferencial:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é a constante de integração.