Resolva as equações diferenciais a variáveis separáveis:
g) y' = y * x * e^(x^2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é do tipo separável. O enunciado é: . Para resolver isso, vamos precisar separar as variáveis e e depois integrar ambos os lados da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial de forma que todos os termos com fiquem de um lado e os termos com do outro. Assim:
Dividindo ambos os lados por :
Isso nos dá:

Passo 3

Agora, vamos integrar ambos os lados para encontrar a solução geral da equação. A integral fica:

Passo 4

Vamos resolver a integral do lado esquerdo primeiro. A integral de é:
Onde é uma constante de integração.

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral do lado direito. Para resolver , fazemos uma substituição simples. Seja , então , o que significa que .
Substituindo na integral:
Onde é outra constante de integração.

Passo 6

Igualando as integrais dos dois lados:
Podemos combinar as constantes e em uma única constante :

Passo 7

Para encontrar , vamos exponentiar ambos os lados da equação:
Simplificando:
Como é apenas uma constante positiva, podemos representá-la como uma nova constante :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é uma constante arbitrária.

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