Resolva as equações diferenciais a variáveis separáveis:
g)
g)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é do tipo separável. O enunciado é:
. Para resolver isso, vamos precisar separar as variáveis
e
e depois integrar ambos os lados da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial de forma que todos os termos com
fiquem de um lado e os termos com
do outro. Assim:
Dividindo ambos os lados por
:
Isso nos dá:
Passo 3
Agora, vamos integrar ambos os lados para encontrar a solução geral da equação. A integral fica:
Passo 4
Vamos resolver a integral do lado esquerdo primeiro. A integral de
é:
Onde
é uma constante de integração.
Passo 5
Agora, vamos resolver a integral do lado direito. Para resolver
, fazemos uma substituição simples. Seja
, então
, o que significa que
.
Substituindo na integral:
Onde
é outra constante de integração.
Passo 6
Igualando as integrais dos dois lados:
Podemos combinar as constantes
e
em uma única constante
:
Passo 7
Para encontrar
, vamos exponentiar ambos os lados da equação:
Simplificando:
Como
é apenas uma constante positiva, podemos representá-la como uma nova constante
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é uma constante arbitrária.