Resolva as equações diferenciais a variáveis separáveis:
e)
e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que está no enunciado:
. Esse tipo de equação é chamado de equação diferencial a variáveis separáveis. Para resolver, vamos precisar separar as variáveis
e
em lados diferentes da equação e então integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para facilitar a separação das variáveis. A equação dada é:
Podemos fatorar o
no lado direito:
Agora, lembrando que
, temos:
Passo 3
Agora, vamos separar as variáveis
e
. Para isso, dividimos ambos os lados por
e multiplicamos por
:
Essa é a chave para conseguir integrar ambos os lados separadamente.
Passo 4
Vamos integrar ambos os lados agora. A integral de
é
, e a integral de
em relação a
é
.
Aqui,
é a constante de integração que aparece quando integramos.
Passo 5
Agora, vamos resolver para
. Primeiro, vamos eliminar o logaritmo tirando a exponencial de ambos os lados:
Podemos simplificar isso para:
Aqui,
agora representa uma nova constante que engloba o
, já que
ainda é uma constante.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é uma constante real.