Resolva as equações diferenciais a variáveis separáveis:
e) y' = 3xy - y

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que está no enunciado: . Esse tipo de equação é chamado de equação diferencial a variáveis separáveis. Para resolver, vamos precisar separar as variáveis e em lados diferentes da equação e então integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para facilitar a separação das variáveis. A equação dada é:
Podemos fatorar o no lado direito:
Agora, lembrando que , temos:

Passo 3

Agora, vamos separar as variáveis e . Para isso, dividimos ambos os lados por e multiplicamos por :
Essa é a chave para conseguir integrar ambos os lados separadamente.

Passo 4

Vamos integrar ambos os lados agora. A integral de é , e a integral de em relação a é .
Aqui, é a constante de integração que aparece quando integramos.

Passo 5

Agora, vamos resolver para . Primeiro, vamos eliminar o logaritmo tirando a exponencial de ambos os lados:
Podemos simplificar isso para:
Aqui, agora representa uma nova constante que engloba o , já que ainda é uma constante.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é uma constante real.

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