Resolva as equações diferenciais de variáveis separáveis dadas:
Definição: Uma equação diferencial da forma
ou
é dita uma equação diferencial de variáveis separáveis e sua solução geral é dada por:
Res.:
Definição: Uma equação diferencial da forma
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial de variáveis separáveis, que é uma equação onde podemos separar as variáveis
e
em lados opostos da equação. O conteúdo envolvido aqui são as equações diferenciais e o método de separação de variáveis. Para resolver, vamos precisar reorganizar a equação de forma que todos os termos com
fiquem de um lado e os termos com
do outro, e então integrar ambos os lados.
Passo 2
A equação dada é
. Primeiro, vamos separar as variáveis. Para isso, dividimos ambos os lados da equação por
:
Agora, multiplicamos ambos os lados por
e por
para isolar as variáveis:
Passo 3
Com as variáveis separadas, podemos integrar ambos os lados da equação. A ideia aqui é encontrar as funções primitivas de cada lado:
Vamos calcular as integrais:
- A integral de
é . - A integral de
é .
Portanto:
Passo 4
Para simplificar a expressão, podemos multiplicar todos os termos por 2 para eliminar os denominadores:
Onde
é apenas outra constante de integração que ainda representa uma constante arbitrária.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: