Resolva as equações diferenciais de variáveis separáveis dadas:
Definição: Uma equação diferencial da forma M(t)+N(y) y^prime=0 ou M(t) d t+ N(t) d y=0 é dita uma equação diferencial de variáveis separáveis e sua solução geral é dada por:
integral M(t) d t=-integral N(y) d y+C
y y^prime=t Res.: y^2-t^2=C

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial de variáveis separáveis, que é uma equação onde podemos separar as variáveis e em lados opostos da equação. O conteúdo envolvido aqui são as equações diferenciais e o método de separação de variáveis. Para resolver, vamos precisar reorganizar a equação de forma que todos os termos com fiquem de um lado e os termos com do outro, e então integrar ambos os lados.

Passo 2

A equação dada é dydt = ty . Primeiro, vamos separar as variáveis. Para isso, dividimos ambos os lados da equação por y , dy = t , dt :
Agora, multiplicamos ambos os lados por e por para isolar as variáveis:

Passo 3

Com as variáveis separadas, podemos integrar ambos os lados da equação. A ideia aqui é encontrar as funções primitivas de cada lado:
integral y , dy = integral t , dt
Vamos calcular as integrais:
  • A integral de y^22 = t^22 + C é .
  • A integral de é .
Portanto:

Passo 4

Para simplificar a expressão, podemos multiplicar todos os termos por 2 para eliminar os denominadores:
y^2 = t^2 + C'
Onde é apenas outra constante de integração que ainda representa uma constante arbitrária.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y^2 - t^2 = C

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