Resolva os problemas de valor inicial (PVI).
Passo 1
Vamos resolver o Problema de Valor Inicial (PVI) dado pela equação diferencial
com a condição inicial
. Esse tipo de equação pertence ao estudo das equações diferenciais de primeira ordem, e para resolvê-la, vamos utilizar o método do fator integrante.
Passo 2
Primeiro, vamos rearranjar a equação para a forma padrão de uma equação linear de primeira ordem:
Aqui, identificamos que
e
.
Passo 3
Em seguida, calculamos o fator integrante
, que é dado por:
O fator integrante nos ajuda a transformar a equação diferencial em uma forma que pode ser integrada facilmente.
Passo 4
Multiplicamos todos os termos da equação diferencial original pelo fator integrante
:
Isso simplifica a equação para uma derivada total:
Passo 5
Agora, integramos ambos os lados da equação em relação a
:
A integral do lado esquerdo simplifica para:
Passo 6
Isolamos
dividindo ambos os lados por
:
Passo 7
Usamos a condição inicial
para encontrar a constante
:
Passo 8
Substituímos o valor de
de volta na solução geral:
Resposta
A solução do PVI é
.