Resolva os problemas de valor inicial (PVI).
dT + k(T - 70) dt = 0, T(0) = 140

Passo 1

Vamos resolver o Problema de Valor Inicial (PVI) dado pela equação diferencial com a condição inicial . Esse tipo de equação pertence ao estudo das equações diferenciais de primeira ordem, e para resolvê-la, vamos utilizar o método do fator integrante.

Passo 2

Primeiro, vamos rearranjar a equação para a forma padrão de uma equação linear de primeira ordem:
Aqui, identificamos que e .

Passo 3

Em seguida, calculamos o fator integrante , que é dado por:
O fator integrante nos ajuda a transformar a equação diferencial em uma forma que pode ser integrada facilmente.

Passo 4

Multiplicamos todos os termos da equação diferencial original pelo fator integrante :
Isso simplifica a equação para uma derivada total:

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados da equação em relação a :
A integral do lado esquerdo simplifica para:

Passo 6

Isolamos dividindo ambos os lados por :

Passo 7

Usamos a condição inicial para encontrar a constante :

Passo 8

Substituímos o valor de de volta na solução geral:

Resposta

A solução do PVI é .

Exercícios relacionados