Resolva as equações diferenciais a variáveis separáveis:
i)
i)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial que é a variável separável:
Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais separáveis, que são aquelas onde conseguimos separar os termos que envolvem
dos que envolvem
. Vamos precisar usar técnicas de separação de variáveis e integração para chegar à solução.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para isolar
(que é
):
Subtraindo
de ambos os lados:
Agora, dividimos ambos os lados por
para deixar
isolado:
Passo 3
Agora, vamos separar as variáveis
e
. Queremos colocar todos os termos com
de um lado e os com
do outro:
Aqui, multiplicamos ambos os lados por
e dividimos por
para conseguir a separação.
Passo 4
Com as variáveis separadas, podemos integrar ambos os lados da equação:
A integração nos ajudará a encontrar uma relação entre
e
.
Passo 5
Vamos resolver as integrações:
Do lado esquerdo:
Do lado direito:
Fazendo uma substituição simples
, então
. Assim, temos:
Passo 6
Agora, juntamos as duas integrais:
Podemos simplificar as constantes
e
em uma única constante
:
Passo 7
Isolando
, temos:
Podemos reescrever
como
(outra constante) para simplificar:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é uma constante de integração.