Resolva as equações diferenciais a variáveis separáveis:
i) (x^2 + 1) y' + 4 x y^2 = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial que é a variável separável:
Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais separáveis, que são aquelas onde conseguimos separar os termos que envolvem dos que envolvem . Vamos precisar usar técnicas de separação de variáveis e integração para chegar à solução.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para isolar (que é ):
Subtraindo de ambos os lados:
Agora, dividimos ambos os lados por para deixar isolado:

Passo 3

Agora, vamos separar as variáveis e . Queremos colocar todos os termos com de um lado e os com do outro:
Aqui, multiplicamos ambos os lados por e dividimos por para conseguir a separação.

Passo 4

Com as variáveis separadas, podemos integrar ambos os lados da equação:
A integração nos ajudará a encontrar uma relação entre e .

Passo 5

Vamos resolver as integrações:
Do lado esquerdo:
Do lado direito:
Fazendo uma substituição simples , então . Assim, temos:

Passo 6

Agora, juntamos as duas integrais:
Podemos simplificar as constantes e em uma única constante :

Passo 7

Isolando , temos:
Podemos reescrever como (outra constante) para simplificar:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é uma constante de integração.

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