Resolva as equações diferenciais a variáveis separáveis:
f) y' = (e^(-y) * x^2) / raiz(x^3 + 3)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial separável que você mandou:
Aqui, estamos lidando com equações diferenciais que podem ser separadas em funções de e . Para resolver, vamos separar as variáveis e integrar ambos os lados.

Passo 2

Primeiro, reescrevemos a equação para separar as variáveis e . A ideia é colocar todos os termos que envolvem de um lado e os que envolvem do outro:
Agora, vamos multiplicar ambos os lados por e dividir por :

Passo 3

Agora que as variáveis estão separadas, podemos integrar ambos os lados. Vamos começar integrando o lado esquerdo:
A integral de em relação a é simplesmente .

Passo 4

Agora, vamos integrar o lado direito:
Vamos fazer uma substituição para facilitar. Seja:
Então, a derivada de em relação a é:
Isso implica que:
Substituindo na integral:
A integral de em relação a é , então:

Passo 5

Agora, vamos juntar os resultados das integrais:
Para deixar a solução mais clara, podemos resolver para :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é a constante de integração.

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