Resolva as equações diferenciais a variáveis separáveis:
h) y' = 2 x e^(-y) ; y(0) = ln(5)

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que temos aqui. O exercício pede para resolver uma equação diferencial de variáveis separáveis. Isso significa que vamos separar as partes que envolvem y das que envolvem x para facilitar a resolução. Precisamos usar integração para achar a solução da equação.

Passo 2

A equação que vamos resolver é:
Aqui, representa a derivada de y em relação a x, ou seja, .

Passo 3

Como a equação é de variáveis separáveis, vamos reorganizar para separar y e x:

Passo 4

Vamos separar as variáveis multiplicando ambos os lados por e dividindo por 2x:

Passo 5

Agora, vamos integrar ambos os lados:
A integração de em relação a y é , e a integração de em relação a x é .

Passo 6

Após integrar, temos:
Onde C é a constante de integração.

Passo 7

Vamos resolver para y, tirando o logaritmo natural de ambos os lados:

Passo 8

Agora, aplicamos a condição inicial para encontrar o valor de C:
Isso implica que .

Passo 9

Substituindo C na equação de y:

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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