Resolva as equações diferenciais a variáveis separáveis:
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Passo 1
Beleza, vamos resumir o que temos aqui. O exercício pede para resolver uma equação diferencial de variáveis separáveis. Isso significa que vamos separar as partes que envolvem y das que envolvem x para facilitar a resolução. Precisamos usar integração para achar a solução da equação.
Passo 2
A equação que vamos resolver é:
Aqui,
representa a derivada de y em relação a x, ou seja,
.
Passo 3
Como a equação é de variáveis separáveis, vamos reorganizar para separar y e x:
Passo 4
Vamos separar as variáveis multiplicando ambos os lados por
e dividindo por 2x:
Passo 5
Agora, vamos integrar ambos os lados:
A integração de
em relação a y é
, e a integração de
em relação a x é
.
Passo 6
Após integrar, temos:
Onde C é a constante de integração.
Passo 7
Vamos resolver para y, tirando o logaritmo natural de ambos os lados:
Passo 8
Agora, aplicamos a condição inicial
para encontrar o valor de C:
Isso implica que
.
Passo 9
Substituindo C na equação de y:
Resposta
A solução da equação diferencial é: