Resolva os seguintes PVId) y'' = e^(x/2), y(0) = 1, y'(0) = -1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial (PVI) juntos! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem e algumas condições iniciais. O conteúdo que vamos usar aqui envolve equações diferenciais e integração. Precisamos encontrar a função que satisfaz a equação com as condições e .

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação diferencial dada: . Isso significa que a segunda derivada de em relação a é igual a . Nosso objetivo é encontrar .

Passo 3

Para resolver uma equação diferencial de segunda ordem, precisamos integrá-la duas vezes. Vamos começar integrando para encontrar a primeira derivada .
A integração de em relação a é:
Usando a integral básica de exponenciais, temos:
Onde , então:

Passo 4

Agora, usamos a condição inicial para encontrar a constante . Sabemos que . Vamos substituir na expressão de :
Então, a primeira derivada é:

Passo 5

Agora, vamos integrar para encontrar :
Integrando termo a termo:
Então, juntando tudo:

Passo 6

Agora, usamos a condição inicial para encontrar a constante . Substituindo :

Passo 7

Finalmente, substituímos na expressão de :

Resposta

A solução do PVI é:

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