Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial (PVI) juntos! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem e algumas condições iniciais. O conteúdo que vamos usar aqui envolve equações diferenciais e integração. Precisamos encontrar a função que satisfaz a equação com as condições e .
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação diferencial dada: . Isso significa que a segunda derivada de em relação a é igual a . Nosso objetivo é encontrar .
Passo 3
Para resolver uma equação diferencial de segunda ordem, precisamos integrá-la duas vezes. Vamos começar integrando para encontrar a primeira derivada .
A integração de em relação a é:
Usando a integral básica de exponenciais, temos:
Onde , então:
Passo 4
Agora, usamos a condição inicial para encontrar a constante . Sabemos que . Vamos substituir na expressão de :
Então, a primeira derivada é:
Passo 5
Agora, vamos integrar para encontrar :
Integrando termo a termo:
Então, juntando tudo:
Passo 6
Agora, usamos a condição inicial para encontrar a constante . Substituindo :