Resolva os seguintes PVIe) y'' = sen(x) + 6x; y(0) = 1; y'(0) = 3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial de segunda ordem. A gente vai trabalhar com um PVI (Problema de Valor Inicial) onde a equação dada é , e temos as condições iniciais e . Para resolver, vamos precisar integrar a equação duas vezes e depois usar as condições iniciais para encontrar as constantes que aparecem nas integrações.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar a equação diferencial uma vez para encontrar a primeira derivada . A equação é:
Integrando em relação a :
Isso nos dá:
Aqui, é a constante de integração que vamos determinar usando a condição inicial para .

Passo 3

Agora, vamos integrar novamente para encontrar :
Integrando cada termo:
Onde é outra constante de integração que vamos encontrar usando a condição inicial para .

Passo 4

Vamos usar a condição inicial para encontrar . Substituindo na expressão de :
Sabemos que , então:

Passo 5

Agora, vamos usar a condição inicial para encontrar . Substituindo na expressão de :
Sabemos que , então:

Resposta

A solução do PVI é:

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