Resolva os seguintes PVIb)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial que envolve uma equação diferencial. A gente vai usar conceitos de cálculo diferencial, mais especificamente, de equações diferenciais separáveis. Precisamos isolar as variáveis para conseguir integrar e encontrar a solução da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação dada:
Nosso objetivo é separar as variáveis
e
para facilitar a integração. Vamos começar dividindo ambos os lados por
:
Passo 3
Agora, vamos separar as variáveis
e
. Multiplicamos ambos os lados por
e
:
Dessa forma, conseguimos isolar
de um lado e
do outro.
Passo 4
Vamos integrar ambos os lados da equação:
A integral do lado esquerdo é simples:
Já no lado direito, usamos integração por partes. Sabemos que:
Então, juntando tudo:
Passo 5
Aplicamos a condição inicial
para encontrar a constante
:
Substituindo
de volta na equação:
Multiplicando tudo por 2 para simplificar:
Finalmente, tiramos a raiz para resolver para
:
Resposta
A solução da equação diferencial é: