Resolva os seguintes PVIb) { y e^{-x} dy/dx = x, y(0) = 1 }

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial que envolve uma equação diferencial. A gente vai usar conceitos de cálculo diferencial, mais especificamente, de equações diferenciais separáveis. Precisamos isolar as variáveis para conseguir integrar e encontrar a solução da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação dada:
Nosso objetivo é separar as variáveis e para facilitar a integração. Vamos começar dividindo ambos os lados por :

Passo 3

Agora, vamos separar as variáveis e . Multiplicamos ambos os lados por e :
Dessa forma, conseguimos isolar de um lado e do outro.

Passo 4

Vamos integrar ambos os lados da equação:
A integral do lado esquerdo é simples:
Já no lado direito, usamos integração por partes. Sabemos que:
Então, juntando tudo:

Passo 5

Aplicamos a condição inicial para encontrar a constante :
Substituindo de volta na equação:
Multiplicando tudo por 2 para simplificar:
Finalmente, tiramos a raiz para resolver para :

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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