Resolva os seguintes PVIa) dy/dx = 4(y^2 + 1), y(pi/4) = 1

Passo 1

Beleza, então a gente tem um problema de uma equação diferencial ordinária (EDO) que a gente precisa resolver. A equação é , e a condição inicial é . Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de separação de variáveis e integração.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que essa é uma equação separável. Isso significa que a gente consegue separar os termos que envolvem dos que envolvem e, assim, integrar os dois lados da equação separadamente.

Passo 3

Vamos separar as variáveis. Para isso, colocamos todos os termos de de um lado e os de do outro lado:

Passo 4

Agora, a gente integra ambos os lados da equação. A integral do lado esquerdo envolve , que a gente sabe que é . Então:
Isso fica:

Passo 5

Agora, vamos resolver para . Primeiro, multiplicamos ambos os lados por 4:
Onde . Então, aplicamos a função tangente dos dois lados para eliminar o arco-tangente:

Passo 6

A gente precisa usar a condição inicial para encontrar a constante . Sabemos que quando , :
Lembrando que , então:
Sabemos que , então .

Resposta

A solução da EDO é:

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