Resolva os seguintes PVIa)
Passo 1
Beleza, então a gente tem um problema de uma equação diferencial ordinária (EDO) que a gente precisa resolver. A equação é
, e a condição inicial é
. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de separação de variáveis e integração.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar que essa é uma equação separável. Isso significa que a gente consegue separar os termos que envolvem
dos que envolvem
e, assim, integrar os dois lados da equação separadamente.
Passo 3
Vamos separar as variáveis. Para isso, colocamos todos os termos de
de um lado e os de
do outro lado:
Passo 4
Agora, a gente integra ambos os lados da equação. A integral do lado esquerdo envolve
, que a gente sabe que é
. Então:
Isso fica:
Passo 5
Agora, vamos resolver para
. Primeiro, multiplicamos ambos os lados por 4:
Onde
. Então, aplicamos a função tangente dos dois lados para eliminar o arco-tangente:
Passo 6
A gente precisa usar a condição inicial para encontrar a constante
. Sabemos que quando
,
:
Lembrando que
, então:
Sabemos que
, então
.
Resposta
A solução da EDO é: