Resolva as equações diferenciais a variáveis separáveis:
j) e^{-x^2} * y * y' + x = 0

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nessa equação diferencial que a gente tem aqui:
Estamos lidando com uma equação diferencial a variáveis separáveis. Isso significa que conseguimos separar os termos que envolvem dos que envolvem para facilitar a resolução. Para resolver isso, vamos precisar reorganizar a equação de forma que todos os termos com fiquem de um lado e os termos com fiquem do outro.

Passo 2

Primeiro, vamos isolar a derivada :
Agora, vamos separar as variáveis e . Para isso, dividimos ambos os lados por :
Multiplicando ambos os lados por e , temos:
Agora, as variáveis estão separadas: todos os termos com estão de um lado e os termos com do outro.

Passo 3

Vamos integrar ambos os lados para encontrar a função em termos de :
A integral do lado esquerdo é simples:
Para a integral do lado direito, fazemos uma substituição simples. Seja , então ou :
Agora, juntando as duas integrais:
Podemos combinar as constantes e em uma única constante :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Ou, isolando :
onde é uma constante arbitrária.

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