Resolva as equações diferenciais a variáveis separáveis:
j)
j)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nessa equação diferencial que a gente tem aqui:
Estamos lidando com uma equação diferencial a variáveis separáveis. Isso significa que conseguimos separar os termos que envolvem
dos que envolvem
para facilitar a resolução. Para resolver isso, vamos precisar reorganizar a equação de forma que todos os termos com
fiquem de um lado e os termos com
fiquem do outro.
Passo 2
Primeiro, vamos isolar a derivada
:
Agora, vamos separar as variáveis
e
. Para isso, dividimos ambos os lados por
:
Multiplicando ambos os lados por
e
, temos:
Agora, as variáveis estão separadas: todos os termos com
estão de um lado e os termos com
do outro.
Passo 3
Vamos integrar ambos os lados para encontrar a função
em termos de
:
A integral do lado esquerdo é simples:
Para a integral do lado direito, fazemos uma substituição simples. Seja
, então
ou
:
Agora, juntando as duas integrais:
Podemos combinar as constantes
e
em uma única constante
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Ou, isolando
:
onde
é uma constante arbitrária.