Resolva os seguintes PVIc)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de equação diferencial, que é basicamente uma equação envolvendo uma função e suas derivadas. A equação que vamos resolver é:
Além disso, temos a condição inicial
. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre equações diferenciais separáveis e como integrar ambos os lados para encontrar a função
.
Passo 2
Primeiro, vamos deixar a equação mais fácil de trabalhar. A ideia é separar as variáveis
e
em lados diferentes da equação. Multiplicando ambos os lados por
, a equação fica:
Agora, nossa equação está pronta para separar as variáveis.
Passo 3
Vamos separar as variáveis
e
. Reescrevendo a equação:
Agora, temos tudo com
de um lado e tudo com
do outro. Isso facilita a integração de ambos os lados separadamente.
Passo 4
Vamos integrar os dois lados para encontrar a função
. Primeiro, integramos o lado esquerdo:
A integral do lado esquerdo é:
Onde
é a constante de integração.
Passo 5
Agora, calculando as integrais:
Então, substituindo de volta na equação:
Passo 6
Vamos usar a condição inicial
para encontrar o valor de
. Substituindo
e
:
Passo 7
Agora, substituímos
de volta na equação:
Para encontrar
, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados. Lembrando que
, escolhemos o sinal negativo:
Resposta
A solução da equação diferencial com a condição inicial dada é: