Resolva os seguintes PVIc) dy/dx = (2x + sec(x)^2) / (2y) y(0) = -5

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de equação diferencial, que é basicamente uma equação envolvendo uma função e suas derivadas. A equação que vamos resolver é:
Além disso, temos a condição inicial . Para resolver isso, vamos precisar entender sobre equações diferenciais separáveis e como integrar ambos os lados para encontrar a função .

Passo 2

Primeiro, vamos deixar a equação mais fácil de trabalhar. A ideia é separar as variáveis e em lados diferentes da equação. Multiplicando ambos os lados por , a equação fica:
Agora, nossa equação está pronta para separar as variáveis.

Passo 3

Vamos separar as variáveis e . Reescrevendo a equação:
Agora, temos tudo com de um lado e tudo com do outro. Isso facilita a integração de ambos os lados separadamente.

Passo 4

Vamos integrar os dois lados para encontrar a função . Primeiro, integramos o lado esquerdo:
A integral do lado esquerdo é:
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Agora, calculando as integrais:
Então, substituindo de volta na equação:

Passo 6

Vamos usar a condição inicial para encontrar o valor de . Substituindo e :

Passo 7

Agora, substituímos de volta na equação:
Para encontrar , tiramos a raiz quadrada de ambos os lados. Lembrando que , escolhemos o sinal negativo:

Resposta

A solução da equação diferencial com a condição inicial dada é:

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