Resolva os seguintes PVIf)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem um problema de valor inicial (PVI) que envolve uma equação diferencial. O que a gente precisa fazer é encontrar a função
que satisfaz a equação
e que, quando
,
. Para resolver isso, vamos usar técnicas de separação de variáveis e integrar os dois lados da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação diferencial dada:
Nosso objetivo é separar as variáveis
e
. Para isso, vamos dividir ambos os lados por
:
Agora, rearranjamos os termos para separar
e
:
Passo 3
Observamos que a equação ainda está um pouco complicada para integrar diretamente. Vamos tentar uma substituição para simplificar. Seja
. Então, a derivada de
em relação a
é:
Substituindo isso na equação original:
Agora, temos uma equação diferencial mais simples:
Passo 4
Vamos separar as variáveis
e
:
Agora, integramos ambos os lados:
As integrais são:
Onde
é a constante de integração.
Passo 5
Vamos resolver para
:
Lembrando que
, temos:
Agora, aplicamos a condição inicial
:
Para encontrar
, fazemos:
Substituindo
de volta na equação: