Resolva os seguintes PVIf) 2y y' = e^(x - y^2) y(4) = -2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem um problema de valor inicial (PVI) que envolve uma equação diferencial. O que a gente precisa fazer é encontrar a função que satisfaz a equação e que, quando , . Para resolver isso, vamos usar técnicas de separação de variáveis e integrar os dois lados da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação diferencial dada:
Nosso objetivo é separar as variáveis e . Para isso, vamos dividir ambos os lados por :
Agora, rearranjamos os termos para separar e :

Passo 3

Observamos que a equação ainda está um pouco complicada para integrar diretamente. Vamos tentar uma substituição para simplificar. Seja . Então, a derivada de em relação a é:
Substituindo isso na equação original:
Agora, temos uma equação diferencial mais simples:

Passo 4

Vamos separar as variáveis e :
Agora, integramos ambos os lados:
As integrais são:
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Vamos resolver para :
Lembrando que , temos:
Agora, aplicamos a condição inicial :
Para encontrar , fazemos:
Substituindo de volta na equação:

Resposta

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