Resolva as equações diferenciais:
y^{\prime}=\frac{e^{2 x}}{4 y^{3}}\,)

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial ordinária
y'=\frac{e^{2x}}{4y^{3}}.
O que se pede é encontrar a solução geral y(x) (ou seja, todas as funções y que satisfazem essa equação), incluindo a constante arbitrária que aparece ao integrar.

Passo 2

Vamos escolher um método e explicar por que ele funciona. Observando o lado direito da equação, ele é um produto de uma função que depende só de x e de uma função que depende só de y. Em geral, uma equação na forma
\frac{dy}{dx}=F(x)\,G(y)
é chamada separável e pode ser resolvida “separando” os termos envolvendo y (junto de dy) e os envolvendo x (junto de dx), e integrando ambos os lados. Aqui o lado direito é \dfrac{e^{2x}}{4y^{3}}=\bigl(e^{2x}\bigr)\cdot\bigl(1/(4y^{3})\bigr), portanto é separável. A ideia é manipular a equação de modo a ter algo do tipo H(y)\,dy = K(x)\,dx.

Passo 3

Separe as variáveis: multiplicando ambos os lados por 4y^{3}\,dx obtemos
4y^{3}\,dy = e^{2x}\,dx.
Aqui a notação significa que a parte que envolve y está do lado esquerdo (junto de dy) e a parte que envolve x está do lado direito (junto de dx) — pronto para integrar.

Passo 4

Agora integramos ambos os lados. Lembrando das regras básicas de integração:
  • \displaystyle \int y^{n}\,dy = \frac{y^{n+1}}{n+1}+C quando n\neq -1.
  • \displaystyle \int e^{ax}\,dx = \frac{1}{a}e^{ax}+C.
Aplicando isso:
\int 4y^{3}\,dy = \int e^{2x}\,dx.
Calcule cada integral:
\int 4y^{3}\,dy = 4\cdot\frac{y^{4}}{4}=y^{4},
\int e^{2x}\,dx = \frac{1}{2}e^{2x}.
Incluímos uma constante de integração no lado direito (uma única constante captura ambas as integrações), então obtemos
y^{4} = \frac{1}{2}e^{2x} + C,
onde C é uma constante arbitrária real.

Passo 5

Isolando y, fazemos a raiz quarta em ambos os lados. Como a raiz quarta de um número não negativo tem duas escolhas de sinal real (positivo ou negativo), a solução geral é
y(x)=\pm\biggl(\frac{1}{2}e^{2x}+C\biggr)^{1/4}.
Aqui é importante notar que, para termos soluções reais, é necessário que \dfrac{1}{2}e^{2x}+C\ge 0 no intervalo em que se busca a solução — isso determina o domínio admissível em função da constante C.

Passo 6

Comentário sobre a constante e casos especiais: a constante C é arbitrária e determina o “nível” da função y^{4}. Exemplos rápidos:
  • Se C=0, então y^{4}=\tfrac{1}{2}e^{2x} e
y=\pm\biggl(\tfrac{1}{2}\biggr)^{1/4}e^{x/2}.
  • Se for preciso uma solução definida para todo x\in\mathbb{R}, então deve escolher C\ge 0, pois \tfrac{1}{2}e^{2x} varia em (0,\infty) e com C\ge0 a soma é sempre positiva.

Passo 7

Verificação rápida (check): defina u(x)=\dfrac{1}{2}e^{2x}+C e y=\pm u^{1/4}. Então
\frac{dy}{dx}=\pm\frac{1}{4}u^{-3/4}\cdot u'=\pm\frac{1}{4}u^{-3/4}\cdot e^{2x}.
Como u^{1/4}=|y| com sinal escolhido, temos u^{-3/4}=(u^{1/4})^{-3}=y^{-3} (respeitando o sinal consistente), logo
\frac{dy}{dx}=\frac{e^{2x}}{4y^{3}},
o que confirma que a expressão encontrada satisfaz a equação diferencial original.

Resposta

y(x)=\pm\biggl(\dfrac{1}{2}e^{2x}+C\biggr)^{1/4}, com constante arbitrária C e domínio tal que \dfrac{1}{2}e^{2x}+C\ge 0.

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