Resolva as equações diferenciais:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial ordinária
O que se pede é encontrar a solução geral
(ou seja, todas as funções
que satisfazem essa equação), incluindo a constante arbitrária que aparece ao integrar.
Passo 2
Vamos escolher um método e explicar por que ele funciona. Observando o lado direito da equação, ele é um produto de uma função que depende só de
e de uma função que depende só de
. Em geral, uma equação na forma
é chamada separável e pode ser resolvida “separando” os termos envolvendo
(junto de
) e os envolvendo
(junto de
), e integrando ambos os lados. Aqui o lado direito é
, portanto é separável. A ideia é manipular a equação de modo a ter algo do tipo
.
Passo 3
Separe as variáveis: multiplicando ambos os lados por
obtemos
Aqui a notação significa que a parte que envolve
está do lado esquerdo (junto de
) e a parte que envolve
está do lado direito (junto de
) — pronto para integrar.
Passo 4
Agora integramos ambos os lados. Lembrando das regras básicas de integração:
-
quando . -
.
Aplicando isso:
Calcule cada integral:
Incluímos uma constante de integração no lado direito (uma única constante captura ambas as integrações), então obtemos
onde
é uma constante arbitrária real.
Passo 5
Isolando
, fazemos a raiz quarta em ambos os lados. Como a raiz quarta de um número não negativo tem duas escolhas de sinal real (positivo ou negativo), a solução geral é
Aqui é importante notar que, para termos soluções reais, é necessário que
no intervalo em que se busca a solução — isso determina o domínio admissível em função da constante
.
Passo 6
Comentário sobre a constante e casos especiais: a constante
é arbitrária e determina o “nível” da função
. Exemplos rápidos:
- Se
, então e
- Se for preciso uma solução definida para todo
, então deve escolher , pois varia em e com a soma é sempre positiva.
Passo 7
Verificação rápida (check): defina
e
. Então
Como
com sinal escolhido, temos
(respeitando o sinal consistente), logo
o que confirma que a expressão encontrada satisfaz a equação diferencial original.