Verifique se a função indicada é uma solução da equação diferencial dada.
y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+y=0 ; \quad y=x e^{x}.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial homogênea de segunda ordem e a função candidata. Os dados são:
  • Equação diferencial: y^{\prime\prime}-2y^{\prime}+y=0.
  • Função candidata: y = x e^{x}.
A pergunta é: verificar se a função indicada é solução da equação diferencial dada (isto é, ao substituir y, y' e y'' na equação, obtemos 0?).

Passo 2

Relembrando as regras de diferenciação que vamos usar (explicadas passo a passo):
  • Derivada da função exponencial: a derivada de \,e^{x}\, é \,e^{x}\,.
  • Regra do produto: se u(x) e v(x) são funções, a derivada de u v é
(uv)' = u'v + uv'.
Aqui usaremos isso porque y(x)=x\cdot e^{x} é produto de x e e^{x}.
Agora calculemos a primeira derivada \,y'.

Passo 3

Calcular y' aplicando a regra do produto a y = x e^{x}:
y' = (x e^{x})' = (x)'\,e^{x} + x\,(e^{x})' = 1\cdot e^{x} + x\cdot e^{x}.
Portanto
y' = e^{x} + x e^{x}.

Passo 4

Calcular y'' diferenciando y' = e^{x} + x e^{x}. Diferenciamos termo a termo; para x e^{x} usamos novamente a regra do produto:
y'' = (e^{x})' + (x e^{x})' = e^{x} + \big(1\cdot e^{x} + x\cdot e^{x}\big).
Simplificando:
y'' = e^{x} + e^{x} + x e^{x} = 2 e^{x} + x e^{x}.

Passo 5

Agora substituímos y, y' e y'' na expressão da equação diferencial \,y''-2y'+y\,. Escrevendo explicitamente:
y'' - 2y' + y = \big(2 e^{x} + x e^{x}\big) - 2\big(e^{x} + x e^{x}\big) + x e^{x}.

Passo 6

Simplificar agrupando os termos semelhantes. Separe os coeficientes das parcelas x e^{x} e e^{x}:
  • Coeficiente de x e^{x}: 1 (de y'') -2 (de -2y') +1 (de y), ou seja 1 - 2 + 1 = 0.
  • Coeficiente de e^{x}: 2 (de y'') -2 (de -2y') +0 (de y), ou seja 2 - 2 + 0 = 0.
Como ambos os coeficientes são zero, o total é
y'' - 2y' + y = 0\cdot (x e^{x}) + 0\cdot e^{x} = 0.

Resposta

Sim, y = x e^{x} é solução da equação diferencial y^{\prime\prime}-2y^{\prime}+y=0.

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