Verifique se a função indicada é uma solução da equação diferencial dada.
.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial homogênea de segunda ordem e a função candidata. Os dados são:
- Equação diferencial:
. - Função candidata:
.
A pergunta é: verificar se a função indicada é solução da equação diferencial dada (isto é, ao substituir
,
e
na equação, obtemos
?).
Passo 2
Relembrando as regras de diferenciação que vamos usar (explicadas passo a passo):
- Derivada da função exponencial: a derivada de
é . - Regra do produto: se
e são funções, a derivada de é
Aqui usaremos isso porque
é produto de
e
.
Agora calculemos a primeira derivada
.
Passo 3
Calcular
aplicando a regra do produto a
:
Portanto
Passo 4
Calcular
diferenciando
. Diferenciamos termo a termo; para
usamos novamente a regra do produto:
Simplificando:
Passo 5
Agora substituímos
,
e
na expressão da equação diferencial
. Escrevendo explicitamente:
Passo 6
Simplificar agrupando os termos semelhantes. Separe os coeficientes das parcelas
e
:
- Coeficiente de
: (de ) (de ) (de ), ou seja . - Coeficiente de
: (de ) (de ) (de ), ou seja .
Como ambos os coeficientes são zero, o total é
Resposta
Sim,
é solução da equação diferencial
.