Verifique a convergência de cada série abaixo. Justifique sua resposta.
sumk=1^infty k^k(2 k)!

Passo 1

Resumo do enunciado e conteúdo necessário: Temos a série sumk=1^infty k^k(2k)!. O conteúdo é teste de convergência de séries numéricas. Vamos usar o teste da razão para verificar a convergência dessa série.

Passo 2

Cálculo do quociente ak+1/ak. Denotando ak = k^k(2k)!, temos:
ak+1ak = (k+1)^k+1(2k+2)!k^k(2k)! = (k+1)^k+1k^kcdot(2k)!(2k+2)! = (k+1)^k+1k^kcdot1(2k+2)(2k+1)
Como (k+1)^k+1=(k+1),k^k,(1+tfrac1k)^k, segue
ak+1ak = (k+1)(1+tfrac1k)^k(2k+2)(2k+1)
Tomando o limite quando ktoinfty e usando (1+tfrac1k)^kto e, obtemos
limktoinftyak+1ak = limktoinfty(k+1)e(2k+2)(2k+1) = 0

Passo 3

Conclusão pelo teste da razão: Como o limite do quociente é menor que 1, pela convergência absoluta do teste da razão, a série converge absolutamente e, portanto, é convergente.

Resposta

A série converge absolutamente.

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