Suponha que f seja uma derivável em R. Sejam F(x)=f(x^n) e G(x)=[f(x)]^n. Encontre F^prime(x)

Passo 1

O enunciado diz que f é derivável em R e define
F(x)=fl(x^nr)
e
G(x)=l[f(x)r]^n
Ele pede a derivada F'(x). Vamos usar a regra da cadeia, que nos diz como derivar uma composição de funções.

Passo 2

Para aplicar a regra da cadeia, note que podemos ver F como a composição
u(x)=x^n, F(x)=fl(u(x)r)
Então, pela regra da cadeia,
F'(x)=f'l(u(x)r)cdot u'(x)

Passo 3

Calculamos primeiro u'(x). Como u(x)=x^n, temos
u'(x)=n,x^n-1
Logo,
F'(x)=f'l(x^nr)cdot n,x^n-1

Resposta

F'(x)=n,x^n-1,f'l(x^nr)

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