Resolver os problemas de valores iniciais abaixo indicados.
PVI EDO: y^prime=x(1+y^2) CI: y(0)=1.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y' = xl(1+y^2r), y(0)=1
O conteúdo aqui é EDO de variáveis separáveis: vamos separar y e x, integrar e depois impor a condição inicial para determinar a constante de integração.

Passo 2

Escrevemos
dydx = xl(1+y^2r)
e separamos as variáveis: colocamos todos os termos em y de um lado e em x do outro, obtendo
dy1+y^2 = x,dx

Passo 3

Integramos ambos os lados. Do lado esquerdo usamos integraldy1+y^2=arctan(y) e do direito integral x,dx=x^22. Logo
arctan(y) = x^22 + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Usamos a condição inicial y(0)=1. Substituindo x=0 e y=1 na expressão acima:
arctan(1) = 0^22 + C Longrightarrow pi4 = C

Passo 5

Voltando à solução geral, temos
arctan(y) = x^22 + pi4
Aplicando a função tangente em ambos os lados, obtemos a solução explícita
y(x) = tan!l(x^22 + pi4r)

Resposta

y(x) = tan!l(x^22 + pi4r)

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