Resolva as equações diferenciais:
y^{\prime}-2 y=3 e^{2 z}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de primeira ordem
y' - 2y = 3 e^{2z},
onde y=y(z) e o apóstrofo indica derivada em relação a z. Vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Identificamos que a equação está na forma padrão
y' + P(z)\,y = Q(z),
com P(z) = -2 e Q(z)=3e^{2z}. O fator integrante é
\mu(z) = \exp\Bigl(\int P(z)\,dz\Bigr) = \exp\Bigl(\int -2\,dz\Bigr) = e^{-2z}.

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados da equação original por \mu(z)=e^{-2z}, obtendo
e^{-2z}y' -2e^{-2z}y = 3e^{2z}e^{-2z} \quad\Longrightarrow\quad \frac{d}{dz}\bigl(y\,e^{-2z}\bigr) = 3.

Passo 4

Integramos em relação a z:
y\,e^{-2z} = \int 3\,dz = 3z + C,
onde C é constante de integração.

Passo 5

Isolando y, temos
y(z) = e^{2z}\,(3z + C).

Resposta

y(z) = e^{2z}\bigl(C + 3z\bigr),
com C constante arbitrária.

Exercícios relacionados