Resolva as seguintes equaçães diferenciais:
\left(y^{2}-1\right) d x+(2 x y+\tan (y)) d y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
\bigl(y^{2}-1\bigr)\,dx + \bigl(2xy + \tan(y)\bigr)\,dy = 0.
Isso é um caso de equação exata. Vamos usar o fato de que, se
M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0
é exata, existe uma função potencial \Phi(x,y) tal que
\partial\Phi/\partial x = M e \partial\Phi/\partial y = N.

Passo 2

Identificamos
M(x,y) = y^{2}-1, \quad N(x,y) = 2xy + \tan(y).
Calculamos as derivadas parciais para testar exatidão:
\frac{\partial M}{\partial y} = 2y, \qquad \frac{\partial N}{\partial x} = 2y.
Como \partial M/\partial y = \partial N/\partial x, a equação é exata.

Passo 3

Procuramos \Phi(x,y) integrando M em relação a x:
\Phi(x,y) = \int (y^{2}-1)\,dx = x\,(y^{2}-1) + h(y),
onde h(y) é uma função a determinar.

Passo 4

Derivamos \Phi em relação a y e igualamos a N:
\frac{\partial \Phi}{\partial y} = 2xy + h'(y) \stackrel{!}{=} 2xy + \tan(y),
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h'(y) = \tan(y) \quad\Longrightarrow\quad h(y) = \int \tan(y)\,dy = -\ln\bigl|\cos(y)\bigr|.

Passo 5

Substituindo h(y) em \Phi, obtemos a solução implícita:
\Phi(x,y) = x\,(y^{2}-1) - \ln\bigl|\cos(y)\bigr| = C,
onde C é constante arbitrária.

Resposta

x\,(y^{2}-1) \;-\;\ln\bigl|\cos(y)\bigr| = C.

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