Resolva as equações diferenciais:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
Este é um caso de equação diferencial exata do tipo
com
e
. Vamos verificar a exatidão e, em seguida, montar a função potencial.
Passo 2
Verificamos a condição de exatidão, conferindo se
Calculando:
Como ambas as derivadas são iguais a
, a equação é exata.
Passo 3
Existe uma função
tal que
Integramos em relação a
:
onde
é uma “constante” de integração que pode depender só de
.
Passo 4
Para determinar
, usamos a outra condição
Por um lado,
Então igualamos a
:
Passo 5
Substituindo
em
, obtemos a função potencial completa:
Como a solução geral de uma equação exata é
, a família de curvas solução é
com
constante arbitrária.
Resposta
A solução geral é