Resolva as equações diferenciais:
(y+2 x) d x+\left(x+e^{v}\right) d y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
(y + 2x)\,dx + (x + e^{y})\,dy = 0.
Este é um caso de equação diferencial exata do tipo
M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0,
com M(x,y)=y+2x e N(x,y)=x+e^{y}. Vamos verificar a exatidão e, em seguida, montar a função potencial.

Passo 2

Verificamos a condição de exatidão, conferindo se
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}.
Calculando:
\frac{\partial M}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}(y+2x)=1, \quad \frac{\partial N}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}(x+e^{y})=1.
Como ambas as derivadas são iguais a 1, a equação é exata.

Passo 3

Existe uma função \varphi(x,y) tal que
\frac{\partial \varphi}{\partial x}=M(x,y)=y+2x.
Integramos em relação a x:
\varphi(x,y)=\int(y+2x)\,dx = x\,y + x^2 + h(y),
onde h(y) é uma “constante” de integração que pode depender só de y.

Passo 4

Para determinar h(y), usamos a outra condição
\frac{\partial \varphi}{\partial y}=N(x,y)=x+e^{y}.
Por um lado,
\frac{\partial \varphi}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(xy + x^2 + h(y)\bigr) = x + h'(y).
Então igualamos a N(x,y):
x + h'(y) = x + e^{y} \quad\Longrightarrow\quad h'(y)=e^{y} \quad\Longrightarrow\quad h(y)=e^{y}.

Passo 5

Substituindo h(y)=e^{y} em \varphi(x,y), obtemos a função potencial completa:
\varphi(x,y)=x^2 + x\,y + e^{y}.
Como a solução geral de uma equação exata é \varphi(x,y)=C, a família de curvas solução é
x^2 + x\,y + e^{y} = C,
com C constante arbitrária.

Resposta

A solução geral é
x^2 + x\,y + e^{y} = C.

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