Resolva as equações diferenciais:
y+\frac{2}{x} y=x y^{3}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
y' + \frac{2}{x}\,y = x\,y^{3},
que é um caso da equação de Bernoulli com expoente n=3. Para resolver, vamos transformar em uma equação linear fazendo a substituição adequada.

Passo 2

Começamos dividindo toda a equação por y^{3}, obtendo
\frac{y'}{y^{3}} + \frac{2}{x}\,\frac{1}{y^{2}} = x.
Dessa forma, aparece o termo \frac{y'}{y^{3}}, que sugere a substituição u = y^{-2}.

Passo 3

Definindo
u = y^{-2},
temos
u' = -2\,\frac{y'}{y^{3}} \quad\Longrightarrow\quad \frac{y'}{y^{3}} = -\frac{u'}{2}.
Substituindo na equação anterior, fica
-\frac{u'}{2} + \frac{2}{x}\,u = x.

Passo 4

Multiplicando por -2 para simplificar, obtemos uma equação linear em u:
u' - \frac{4}{x}\,u = -2\,x.

Passo 5

Calculamos o fator integrante \mu(x) dado por
\mu(x) = \exp\Bigl(\int -\tfrac{4}{x}\,dx\Bigr) = \exp(-4\ln x) = x^{-4}.
Multiplicando a equação por x^{-4} resulta em
\bigl(u\,x^{-4}\bigr)' = -2\,x\cdot x^{-4} = -2\,x^{-3}.

Passo 6

Integramos em relação a x:
u\,x^{-4} = \int -2\,x^{-3}\,dx = \int -2\,x^{-3}\,dx = x^{-2} + C,
onde C é a constante de integração. Portanto
u = x^{2} + C\,x^{4}.

Passo 7

Voltando à variável original, u = y^{-2}, temos
y^{-2} = x^{2} + C\,x^{4} \quad\Longrightarrow\quad y^{2} = \frac{1}{x^{2}(1 + C\,x^{2})}.
Logo, a solução geral é
y(x) = \pm \frac{1}{x\sqrt{1 + C\,x^{2}}}.

Resposta

y(x) = \pm \frac{1}{x\sqrt{1 + C\,x^{2}}},
onde C é a constante de integração.

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