Resolva as seguintes equaçães diferenciais:
(x-3)(y+1) d x+\left(x y^{2}+2 x y+x\right) d y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
(x-3)(y+1)\,\mathrm{d}x \;+\;\bigl(xy^2+2xy+x\bigr)\,\mathrm{d}y=0.
Isso é uma equação de forma M(x,y)\,\mathrm{d}x+N(x,y)\,\mathrm{d}y=0. Vamos verificar se ela é exata ou se admite alguma substituição que facilite a resolução.

Passo 2

Observamos que y aparece sempre na combinação y+1. Definimos
u = y+1,
então \mathrm{d}u=\mathrm{d}y e y=u-1. Reescrevendo M e N em termos de x e u:
M=(x-3)(y+1)=(x-3)\,u, \qquad N=xy^2+2xy+x = x\,(u-1)^2 +2x\,(u-1)+x = x\,u^2.

Passo 3

Com essa substituição a equação fica
(x-3)\,u\,\mathrm{d}x \;+\; x\,u^2\,\mathrm{d}u = 0.
Se u\neq0 (caso u=0 y=-1, que a gente inclui depois), podemos dividir tudo por u:
(x-3)\,\mathrm{d}x \;+\; x\,u\,\mathrm{d}u = 0.

Passo 4

Agora a equação está separável em x e u. Escrevemos
(x-3)\,\mathrm{d}x = -\,x\,u\,\mathrm{d}u \quad\Longrightarrow\quad \frac{x-3}{x}\,\mathrm{d}x = -\,u\,\mathrm{d}u.

Passo 5

Integramos ambos os lados:
\int\!\Bigl(1 - \frac{3}{x}\Bigr)\mathrm{d}x = \int -\,u\,\mathrm{d}u.
Do lado esquerdo
\int 1\,\mathrm{d}x - 3\int \frac{1}{x}\mathrm{d}x = x -3\ln\lvert x\rvert,
e do lado direito
\int -\,u\,\mathrm{d}u = -\frac{u^2}{2}.
Logo
x -3\ln\lvert x\rvert = -\frac{u^2}{2} + C.
Voltando a u=y+1, obtemos
x -3\ln\lvert x\rvert + \frac{(y+1)^2}{2} = C.

Resposta

A solução geral é dada implicitamente por
x - 3\ln\lvert x\rvert + \frac{(y+1)^2}{2} = C,
além da solução singular y=-1.

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