Resolva as Equações Diferenciáveis de Variáveis Separáveis:
\frac{d y}{d x}+\frac{1+y^{3}}{x y^{2}\left(1+x^{2}\right)}=0, y(1)=1;

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de variáveis separáveis
\frac{dy}{dx} + \frac{1 + y^{3}}{x\,y^{2}(1 + x^{2})} = 0
com condição inicial y(1)=1.
O conteúdo é separação de variáveis e integração usando substituição e frações parciais.

Passo 2

Reescrevendo como
\frac{dy}{dx} = -\,\frac{1 + y^{3}}{x\,y^{2}(1 + x^{2})}
e separando as variáveis, obtemos
\int \frac{y^{2}}{1 + y^{3}}\,dy = -\int \frac{dx}{x\,(1 + x^{2})}.

Passo 3

Calculamos as duas integrais:
Para a parte em y, use u = 1 + y^{3}, du = 3y^{2}dy, logo
\int \frac{y^{2}}{1+y^{3}}\,dy = \frac{1}{3}\int \frac{du}{u} = \frac{1}{3}\ln\lvert 1 + y^{3}\rvert.
Para a parte em x, faça frações parciais:
\frac{1}{x(1+x^{2})} = \frac{1}{x} - \frac{x}{1+x^{2}},
Portanto
-\int \frac{dx}{x(1+x^{2})} = -\int\Bigl(\frac{1}{x} - \frac{x}{1+x^{2}}\Bigr)dx = -\ln\lvert x\rvert + \tfrac{1}{2}\ln(1+x^{2}).
Assim a solução implícita é
\frac{1}{3}\ln\lvert 1 + y^{3}\rvert = -\ln\lvert x\rvert + \frac{1}{2}\ln(1+x^{2}) + C.

Passo 4

Usando y(1)=1, temos
\frac{1}{3}\ln(1+1^{3}) = -\ln 1 + \tfrac{1}{2}\ln2 + C \;\Longrightarrow\;\frac{1}{3}\ln2 = \frac{1}{2}\ln2 + C \;\Longrightarrow\;C = -\frac{1}{6}\ln2.
Substituindo de volta:
\frac{1}{3}\ln\lvert 1 + y^{3}\rvert = -\ln\lvert x\rvert + \frac{1}{2}\ln(1+x^{2}) - \frac{1}{6}\ln2.

Passo 5

Multiplicando por 3 e exponenciando:
\ln\lvert 1 + y^{3}\rvert = -3\ln x + \frac{3}{2}\ln(1+x^{2}) - \frac{1}{2}\ln2
\lvert 1 + y^{3}\rvert = x^{-3}\,(1+x^{2})^{3/2}\,2^{-1/2}.
Como x>0 e 1+y^{3}>0 no entorno de x=1, temos
1 + y^{3} = \frac{(1+x^{2})^{3/2}}{\sqrt{2}\,x^{3}} \quad\Longrightarrow\quad y^{3} = \frac{(1+x^{2})^{3/2}}{\sqrt{2}\,x^{3}} - 1
e finalmente
y(x) = \Biggl(\frac{(1+x^{2})^{3/2}}{\sqrt{2}\,x^{3}} - 1\Biggr)^{1/3}.

Resposta

y(x) = \left(\frac{(1+x^{2})^{3/2}}{\sqrt{2}\,x^{3}} - 1\right)^{1/3}.

Exercícios relacionados