Resolva as Equações Diferenciáveis de Variáveis Separáveis:
x \cos x=\left(2 y+e^{3 y}\right) y^{\prime}, y(0)=0;

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO de variáveis separáveis:
x \cos x = \bigl(2y + e^{3y}\bigr)\,\frac{dy}{dx},
com condição inicial y(0)=0. Vamos separar as variáveis para integrar ambos os lados.

Passo 2

Reorganizamos para ter termos em y de um lado e em x do outro:
\bigl(2y + e^{3y}\bigr)\,dy = x \cos x\,dx.

Passo 3

Integramos ambos os lados:
\int\bigl(2y + e^{3y}\bigr)\,dy = \int x \cos x\,dx.

Passo 4

Calcular cada integral:
Para a esquerda:
\int 2y\,dy = y^2, \quad \int e^{3y}\,dy = \tfrac{1}{3}e^{3y},
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\int\bigl(2y + e^{3y}\bigr)\,dy = y^2 + \tfrac{1}{3}e^{3y}.
Para a direita, usamos integração por partes em \int x\cos x\,dx com u=x, dv=\cos x\,dx:
\int x\cos x\,dx = x\sin x - \int \sin x\,dx = x\sin x + \cos x.

Passo 5

Igualando as primitivas e incluindo a constante de integração C:
y^2 + \tfrac{1}{3}e^{3y} = x\sin x + \cos x + C.
Aplicando y(0)=0:
0^2 + \tfrac{1}{3}e^0 = 0\cdot\sin0 + \cos0 + C \quad\Longrightarrow\quad \tfrac{1}{3} = 1 + C \quad\Longrightarrow\quad C = -\tfrac{2}{3}.

Passo 6

Portanto, a solução implícita que satisfaz a condição inicial é
y^2 + \tfrac{1}{3}e^{3y} = x\sin x + \cos x - \tfrac{2}{3}.

Resposta

y^2 + \tfrac{1}{3}e^{3y} = x\sin x + \cos x - \tfrac{2}{3}.

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