Resolva as Equações Diferenciáveis de Variáveis Separáveis:
y^{\prime} \tan x=a+y, y\left(\frac{\pi}{3}\right)=a, 0<x<\frac{\pi}{2}.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
y'(x)\,\tan x = a + y(x)
com condição inicial y\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr)=a no domínio 0<x<\tfrac{\pi}{2}.
O conteúdo da matéria é equação diferencial de variáveis separáveis: vamos reescrever a equação para isolar y e x em lados diferentes e depois integrar.

Passo 2

Primeiro colocamos y' em evidência e expressamos a tangente em termos de cotangente para separar variáveis:
y' = \frac{a + y}{\tan x} = (a + y)\,\cot x.
Em notação diferencial, y' = \frac{dy}{dx}, logo
\frac{dy}{dx} = (a + y)\,\cot x.
Agora separamos as variáveis y e x numa mesma equação:
\frac{dy}{a + y} = \cot x\,dx.

Passo 3

Integramos ambos os lados. Do lado esquerdo, usamos
\int \frac{dy}{a + y} = \ln\bigl|a + y\bigr| + C_1,
e do lado direito
\int \cot x\,dx = \int \frac{\cos x}{\sin x}\,dx = \ln\bigl|\sin x\bigr| + C_2.
Igualando as integrais e absorvendo as constantes em uma só C, obtemos
\ln\bigl|a + y\bigr| = \ln\bigl|\sin x\bigr| + C.

Passo 4

Aplicamos exponenciação para eliminar o logaritmo:
a + y = C_0\,\sin x,
onde C_0 = e^{C} é uma constante positiva ou negativa conforme o sinal de a+y. Portanto a solução geral é
y(x) = C_0\,\sin x \;-\; a.

Passo 5

Usamos a condição inicial y\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr)=a. Substituindo x=\tfrac{\pi}{3} em y(x):
a = C_0\,\sin\!\Bigl(\tfrac{\pi}{3}\Bigr) - a \quad\Longrightarrow\quad a + a = C_0\,\frac{\sqrt{3}}{2} \quad\Longrightarrow\quad 2a = C_0\,\frac{\sqrt{3}}{2} \quad\Longrightarrow\quad C_0 = \frac{4a}{\sqrt{3}}.

Passo 6

Substituímos C_0 na solução geral para obter a solução particular que satisfaz a condição inicial:
y(x) = \frac{4a}{\sqrt{3}}\,\sin x \;-\; a.

Resposta

y(x) = \frac{4a}{\sqrt{3}}\,\sin x \;-\; a.

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