Resolva as equações homogêneas:
\left(y^{2}+y x\right) d x+x^{2} d y=0;

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
\bigl(y^{2}+yx\bigr)\,dx + x^{2}\,dy = 0
que é homogênea de grau 2 em x,y. Para resolver, vamos usar a substituição
y = u\,x, \quad \text{logo} \quad dy = u\,dx + x\,du.

Passo 2

Substituindo y=ux e dy=u\,dx+x\,du na equação original, vem
\bigl(u^{2}x^{2}+u\,x^{2}\bigr)dx + x^{2}\bigl(u\,dx + x\,du\bigr)=0.
Fatorando x^{2} e dividindo por x^{2}\neq0, obtemos
(u^{2}+2u)\,dx + x\,du = 0
e portanto
\frac{du}{dx} = -\frac{u^{2}+2u}{x}.

Passo 3

Separamos variáveis:
\int \frac{du}{u(u+2)} = -\int \frac{dx}{x}.
Fazendo frações parciais em \tfrac1{u(u+2)}:
\frac1{u(u+2)} = \frac12\Bigl(\frac1u - \frac1{u+2}\Bigr),
temos
\tfrac12\ln|u| - \tfrac12\ln|u+2| = -\ln|x| + C.
Multiplicando por 2 e exponenciando,
\ln\Bigl|\tfrac{u}{u+2}\Bigr| = -2\ln|x| + C_1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{u}{u+2} = C\,x^{-2}.

Passo 4

Volta à variável original y=xu:
\frac{\tfrac{y}{x}}{\tfrac{y}{x}+2} = C\,x^{-2} \quad\Longrightarrow\quad \frac{y}{y+2x} = C\,x^{-2}
ou, reorganizando,
\frac{x^{2}\,y}{y+2x} = C,
que é a forma implícita da solução geral.

Resposta

\displaystyle \frac{x^{2}\,y}{y+2x} = C, onde C é constante de integração.

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