Resolva as equações de EULER.
4 t^2 y^prime prime+y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação de Euler
4,t^2,y'' + y = 0
que é um caso de equação de Cauchy–Euler na variável t. Para resolver precisamos usar o método do ansatz y=t^m.

Passo 2

Assumimos
y = t^m
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y' = m,t^m-1, y'' = m,(m-1),t^m-2
Substituindo em ,4,t^2,y''+y=0, obtemos
4,t^2l[m(m-1),t^m-2r] + t^m = 0 ;Longrightarrow; l[4,m(m-1) + 1r],t^m = 0

Passo 3

Como t^mneq0 para t>0, a parte entre colchetes deve anular-se. Logo a equação indicial é
4,m(m-1) + 1 = 0 ;Longrightarrow; 4m^2 - 4m + 1 = 0 ;Longrightarrow; (2m-1)^2 = 0,
cuja única raiz, de multiplicidade dois, é
m = tfrac12

Passo 4

Para raiz dupla m=tfrac12 a solução geral da equação de Euler é
y(t) = C1,t^m + C2,t^mln t
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias. Substituindo m=tfrac12 vem
y(t) = C1,t^tfrac12 + C2,t^tfrac12ln t

Resposta

y(t) = C1,t^tfrac12 + C2,t^tfrac12ln t

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