Resolva as equações de EULER.
t^2 y^prime prime+3 t y^prime-4 y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação de Euler
t^2y'' + 3t,y' - 4y = 0
Este tipo de equação é conhecida como Cauchy–Euler e a ideia é usar o ansatz y=t^r, pois assim as derivadas mantêm a mesma base t^r e viramos uma equação algébrica em r.

Passo 2

Supondo
y = t^r,
temos
y' = r,t^r-1, y'' = r(r-1),t^r-2
Substituindo na equação original:
t^2l[r(r-1)t^r-2r] +3tl[r,t^r-1r] -4,t^r =0
Longrightarrow r(r-1)t^r + 3r,t^r -4,t^r = 0
Longrightarrow l[r(r-1)+3r-4r]t^r = 0

Passo 3

Como t^rneq0 para t>0, obtemos a equação característica
r(r-1) + 3r - 4 = 0 Longrightarrow r^2 + 2r - 4 = 0
Resolvendo-a pelo discriminante:
De<a = 2^2 - 4cdot1cdot(-4) = 4 + 16 = 20,
r = -2 pm raiz202 = -1 pm raiz5

Passo 4

Como as raízes r1=-1+raiz5 e r2=-1-raiz5 são distintas, a solução geral da equação de Euler é
y(t) = C1,t^,r1 + C2,t^,r2 = C1,t^-1+raiz5 + C2,t^-1-raiz5,
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Resposta

boxedy(t) = C1,t^-1+raiz5 + C2,t^-1-raiz5

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