Resolva as equações de EULER.
25 t^2 y^prime prime+25 t y^prime+y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação de Euler
25,t^2y''+25,t,y'+y=0
O conteúdo aqui é reconhecer que se trata de uma equação de Cauchy–Euler e que a técnica padrão é usar a substituição y=t^m.

Passo 2

Para simplificar, dividimos toda a equação por 25:
t^2y''+t,y'+125,y=0
Agora está na forma canônica
t^2y'' + a,t,y' + b,y = 0
com a=1 e b=tfrac125.

Passo 3

Na técnica de Euler supomos
y(t)=t^m,
então
y'(t)=m,t^m-1, y''(t)=m(m-1),t^m-2
Substituindo na equação padrão:
t^2l[m(m-1)t^m-2r]+tl[m,t^m-1r]+125t^m=0

Passo 4

Factorizando t^m (e lembrando que t>0 para a substituição valer), obtemos a equação característica:
m(m-1)+m+125=0 ;Longrightarrow; m^2+125=0 ;Longrightarrow; m=pm i5

Passo 5

Como as raízes são complexas conjugadas m1,2=0pm tfraci5, a solução geral é
y(t)=C1,t^i/5+C2,t^-,i/5
Usando a fórmula de Euler t^i/5=e^(i/5)ln t e passando para a forma real:
y(t)=Acos!l(tfrac15ln tr)+Bsin!l(tfrac15ln tr),
onde A e B são constantes determinadas pelas condições iniciais.

Resposta

y(t)=Acos!l(tfrac15ln tr)+Bsin!l(tfrac15ln tr),
com A,BinR.

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