Resolva as equações de EULER.
t^2 y^prime prime+5 t y^prime+4 y=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação de Euler–Cauchy
t^2y''+5t,y'+4y=0,
que é um tipo de equação diferencial ordinária onde os coeficientes são potências de t. Para resolver, vamos usar o método da substituição y=t^m, que transforma a EDO numa equação algébrica em m.

Passo 2

Assumimos a forma y=t^m com t>0. Então
y' = m,t^m-1, y'' = m(m-1),t^m-2
Substituindo em t^2y''+5t,y'+4y=0, obtemos:

Passo 3

t^2l[m(m-1)t^m-2r] +5tl[m,t^m-1r] +4,t^m =0 Longrightarrow m(m-1)t^m +5m,t^m +4,t^m =0
Como t^mneq0, podemos dividir por t^m e chegar à equação característica:

Passo 4

m(m-1)+5m+4=0 Longrightarrow m^2-m+5m+4=0 Longrightarrow m^2+4m+4=0 Longrightarrow (m+2)^2=0
Logo, temos raiz dupla m=-2.

Passo 5

Para raiz dupla m=-2, a solução geral da equação de Euler é
y(t) = C1,t^-2+C2,t^-2ln(t),
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Resposta

y(t)=C1,t^-2+C2,t^-2ln(t)

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