Resolva as equações de EULER.
4 t^2 y^prime prime+4 t y^prime-y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação de Euler
4,t^2y'' + 4,t,y' - y = 0
Este tipo de equação se resolve usando o ansatz y=t^m e encontrando a equação indicial para o expoente m.

Passo 2

Vamos supor
y = t^m,
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y' = m,t^m-1, y'' = m(m-1),t^m-2
Substituindo na equação original:
4,t^2l[m(m-1)t^m-2r] ;+; 4,tl[m,t^m-1r];-;t^m ;=;0

Passo 3

Simplificando cada termo em t^m:
4m(m-1),t^m + 4m,t^m - t^m = l(4m(m-1)+4m -1r),t^m = (4m^2 -1),t^m = 0
Como t^mneq0, o fator entre parênteses deve ser zero, gerando a equação indicial
4m^2 - 1 = 0

Passo 4

Resolvendo
4m^2 - 1 = 0 Longrightarrow m^2 = tfrac14 Longrightarrow m = pm tfrac12

Passo 5

As raízes são reais e distintas ( m1=tfrac12, m2=-tfrac12), então a solução geral da equação de Euler é
y(t) = C1,t^1/2 + C2,t^-1/2,
com C1 e C2 constantes arbitrárias.

Resposta

y(t) = C1,t^1/2 + C2,t^-1/2

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