Resolva as equações de EULER.
t^3 y^prime prime-6 y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
t^3y''-6,y=0
sob a alegação de ser uma “equação de Euler” (ou Cauchy–Euler). Nas equações de Euler de segunda ordem o formato padrão é
t^2y''+a,t,y'+b,y=0,
onde os coeficientes de y'',y',y são monômios em t de grau 2,1,0, respectivamente. Aqui, entretanto, o termo em y' está ausente e o coeficiente de y não é constante, mas sim b(t)=-6cdot t^-3 após dividirmos por t^3.

Passo 2

Como o formato não coincide com o de Cauchy–Euler (falta o termo em y' e o coeficiente de y não é constante nem monômio de grau zero após normalizar), não podemos usar o método de tentativa y=t^r.

Passo 3

Trata-se, na verdade, de uma EDO linear homogênea de coeficientes variáveis genérica
y''-;6,t^-3,y=0,
que não admite a solução elementar de Euler. Para resolvê-la seria preciso recorrer a métodos mais gerais (por exemplo, redução de ordem ou série de Frobenius), o que está além da “resolução por Euler”.

Passo 4

Portanto, não há solução na forma típica de Cauchy–Euler, e o enunciado, conforme escrito, é incorreto para aplicar aquele método. Peço que verifique se não faltou um termo em y' ou se o coeficiente deveria ser t^2 em vez de t^3.

Resposta

Não é uma equação de Cauchy–Euler no formato padrão e, como está, não se resolve pelo método de Euler. É necessário corrigir o enunciado.

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