Un grupo de estudiantes del ICA está construyendo un prototipo de un auto y para ello deben diseñar un motor cuyo depósito de combustible tiene fondo cuadrado y una capacidad de 4 dm^3. ¿Qué altura debe tener el depósito para que su fabricación necesite la menor cantidad de metal posible?

Passo 1

Temos um depósito prismático de base quadrada com lado x e altura h. O volume fixo é V=4,dm^3, e queremos minimizar a área de superfície, que corresponde à quantidade de metal necessária.

Passo 2

Escrevemos o volume e a área de superfície. O volume é V=x^2h=4. A área de superfície fechada é S=2x^2+4xh. Substituímos h=4/x^2 em S para obter S(x)=2x^2+16/x.

Passo 3

Para encontrar o mínimo de S(x), calculamos a derivada S'(x)=4x-16/x^2 e igualamos a zero, obtendo 4x-16/x^2=0. Isso leva a x^3=4, logo x=raiz[3]4.

Passo 4

Verificamos que S''(x)=4+32/x^3>0 para x>0, garantindo que seja mínimo.

Passo 5

Finalmente, calculamos a altura usando h=4/x^2=4/4^2/3=4^1/3=raiz[3]4.

Resposta

A altura deve ser h=raiz[3]4 dm (aproximadamente 1,587 dm).

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