Resolva a seguinte integral tripla:
\int_{-4}^{\frac{19}{6}} \int_{\frac{3 x}{2}-\frac{11}{4}}^{2} \int_{6}^{\frac{1}{2}+3 x-2 y} z d z d y d x

Passo 1

O enunciado pede a integral tripla
\int_{x=-4}^{19/6}\int_{y=\frac{3x}{2}-\frac{11}{4}}^{2}\int_{z=6}^{\frac12+3x-2y}z\,dz\,dy\,dx.
Estamos em cálculo de múltiplas integrais iteradas e vamos proceder por etapas de integração em z, depois em y e por fim em x.

Passo 2

Primeiro integramos em z:
\int_{6}^{\frac12+3x-2y}z\,dz =\left[\frac{z^{2}}{2}\right]_{6}^{\frac12+3x-2y} =\frac{1}{2}\Bigl(\bigl(\tfrac12+3x-2y\bigr)^{2}-36\Bigr).

Passo 3

Agora integramos em y de y=a(x)=\tfrac{3x}{2}-\tfrac{11}{4} até y=2. Para simplificar, fazemos a troca de variável
u=\tfrac12+3x-2y, \quad dv = dy, \quad du=-2\,dy
e quando y=a(x) obtém-se u=6, enquanto para y=2 vem u=3x-\tfrac72. Assim
\int_{y=a(x)}^{2}\frac{1}{2}\bigl(u^{2}-36\bigr)\,dy =\int_{u=6}^{3x-\frac72}\frac{1}{2}\bigl(u^{2}-36\bigr)\Bigl(-\frac{du}{2}\Bigr) =-\frac{1}{4}\int_{6}^{3x-\frac72}(u^{2}-36)\,du.
Calculando essa integral,
\int(u^{2}-36)\,du=\frac{u^{3}}{3}-36u,
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-\frac{1}{4}\Bigl[\frac{u^{3}}{3}-36u\Bigr]_{6}^{3x-\frac72} =\frac{1}{4}\Bigl[\underbrace{\Bigl(\frac{6^{3}}{3}-36\cdot6\Bigr)}_{=-144} -\Bigl(\frac{(3x-\tfrac72)^{3}}{3}-36(3x-\tfrac72)\Bigr)\Bigr].
Isto leva a
27x-\frac{135}{2}-\frac{1}{12}(3x-\tfrac72)^{3}.

Passo 4

Observe que (3x-\tfrac72)^{3}=\frac{(6x-7)^{3}}{8}. Então a expressão para integrar em x é
f(x) =27x-\frac{135}{2}-\frac{1}{12}\cdot\frac{(6x-7)^{3}}{8} =27x-\frac{135}{2}-\frac{(6x-7)^{3}}{96}.

Passo 5

Integramos f(x) de -4 a 19/6. Um antiderivado é
F(x) =\int f(x)\,dx =\frac{27}{2}x^{2}-\frac{135}{2}x -\frac{1}{96}\int(6x-7)^{3}dx.
Fazendo v=6x-7, dv=6\,dx, tem \int(6x-7)^{3}dx = \tfrac{v^{4}}{24}, então
F(x)=\frac{27}{2}x^{2}-\frac{135}{2}x-\frac{(6x-7)^{4}}{2304}.

Passo 6

Avaliaremos F em x=19/6 e x=-4:
Para x=\tfrac{19}{6} vem
F(\tfrac{19}{6}) =\frac{27}{2}\bigl(\tfrac{19}{6}\bigr)^{2}-\frac{135}{2}\cdot\tfrac{19}{6} -\frac{12^{4}}{2304} =-\frac{699}{8}.
Para x=-4 vem
F(-4) =\frac{27}{2}\cdot16-\frac{135}{2}\cdot(-4) -\frac{(-31)^{4}}{2304} =\frac{196223}{2304}.
Portanto a integral total é
I =F\bigl(\tfrac{19}{6}\bigr)-F(-4) =-\frac{699}{8}-\frac{196223}{2304} =-\frac{397535}{2304}.

Resposta

-\frac{397535}{2304}.

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