Uma substância volátil A aparece em concentração muito diluída em água e precisa ser retirada para que essa água possa então ser descartada. Para isso, escolheu-se realizar essa operação em um tubo de paredes molhadas de forma que água com a substância A (que é pouco solúvel em água) escorre em forma de filme e verticalmente pelas paredes internas de um tubo de 0,76 \mathrm{~cm} de diâmetro interno e 1,5 \mathrm{~m} de comprimento a uma vazão volumétrica de 5 \times 10^{-5} \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s}\left(\mu=10^{-3} \mathrm{~kg} / \mathrm{m} . \mathrm{s} ; \rho=10^{3} \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} ; D_{\text {A-água }}=9.10^{-10} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s}\right)á por onde o ar atravessa verticalmente em sentido contrário ao da água a uma vazão de ar de 5 \times 10^{-4} \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s}\left(\mu=1,8.10^{-5} \mathrm{~kg} / \mathrm{m} . \mathrm{s}\right.; \rho=1,2 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} ; D_{A-a r}=8.10^{-6} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s} ). Considerando condições ambientes com H=5,6 \times 10^{7} \mathrm{~Pa}, calcule os coeficientes locais e globais de transferência de massa ( K_{L} ; k_{l} ; k_{g} ).

Passo 1

Resumindo, temos água contendo traços de A escorrendo em filme descendente pelas paredes internas de um tubo vertical (diâmetro interno D=0,76\\ \mathrm{cm}, comprimento L=1,5\\ \mathrm{m}) à vazão volumétrica Q_{\ell}=5\times10^{-5}\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}. Simultaneamente, ar sobe contracorrente à vazão Q_{g}=5\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}. Queremos os coeficientes de transferência de massa no líquido k_{\ell}, no gás k_{g} e global baseado no líquido K_{L}. Usaremos:
– Teoria da película de Nusselt para filme laminar descendente na água (para achar a espessura \delta).
– Filme de massa no líquido: k_{\ell}\approx D_{\mathrm{A,água}}/\deltaá.
– Correlação de Sherwood para fluxo interno turbulento no gás: \displaystyle \mathrm{Sh}=0{,}023\,\mathrm{Re}^{0{,}83}\mathrm{Sc}^{0{,}44}.
– Lei de Henry para relacionar concentrações no interface e montar 1/K_{L}=1/k_{\ell}+m/k_{g}, onde m=C_{\ell,i}/C_{g,i}=RT/H.

Passo 2

Calculamos a espessura do filme \delta usando o balanço de vazão em filme laminar: o fluxo por unidade de largura é
q=\frac{Q_{\ell}/L}{\pi D}
q=\frac{5\times10^{-5}/1{,}5}{\pi\,(0{,}0076)}\approx1{,}395\times10^{-3}\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s},
e a relação de Nusselt dá
q=\frac{\rho\,g\,\delta^3}{3\mu} \quad\Longrightarrow\quad \delta=\Bigl(\frac{3\,\mu\,q}{\rho\,g}\Bigr)^{1/3} =\Bigl(\frac{3\cdot10^{-3}\cdot1{,}395\times10^{-3}}{10^3\cdot9{,}81}\Bigr)^{1/3} \approx7{,}52\times10^{-4}\\ \mathrm{m}.

Passo 3

O coeficiente de transferência de massa na água é aproximado por
k_{\ell}\approx\frac{D_{\mathrm{A,água}}}{\delta} =\frac{9\times10^{-10}}{7{,}52\times10^{-4}} \approx1{,}20\times10^{-6}\\ \mathrm{m/s}.á

Passo 4

No gás, a velocidade média é
u_{g}=\frac{Q_{g}}{\pi D^2/4} =\frac{5\times10^{-4}}{\pi\,(0.0076)^2/4} \approx11{,}0\\ \mathrm{m/s}.
Logo
\mathrm{Re}=\frac{\rho_{g}\,u_{g}\,D}{\mu_{g}} =\frac{1{,}2\cdot11{,}0\cdot0{,}0076}{1{,}8\times10^{-5}} \approx5{,}58\times10^{3}, \quad \mathrm{Sc}=\frac{\mu_{g}}{\rho_{g}D_{\mathrm{A,ar}}} =\frac{1{,}8\times10^{-5}}{1{,}2\cdot8\times10^{-6}} \approx1{,}88.
Usando a correlação
\mathrm{Sh}=0{,}023\,\mathrm{Re}^{0{,}83}\mathrm{Sc}^{0{,}44} \approx0{,}023\,(5{,}58\times10^{3})^{0{,}83}(1{,}88)^{0{,}44} \approx38{,}9,
obtemos
k_{g}=\frac{\mathrm{Sh}\,D_{\mathrm{A,ar}}}{D} =\frac{38{,}9\cdot8\times10^{-6}}{0{,}0076} \approx4{,}10\times10^{-2}\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

A constante de Henry dada é H=5{,}6\times10^{7}\\ \mathrm{Pa}, e a relação no interface é
m=\frac{C_{\ell,i}}{C_{g,i}} =\frac{p_{A}/H}{p_{A}/(RT)} =\frac{RT}{H} =\frac{8{,}314\cdot298}{5{,}6\times10^{7}} \approx4{,}4\times10^{-5}\\ (\text{adim.}).

Passo 6

Finalmente, o coeficiente global baseado no líquido é
\frac{1}{K_{L}} =\frac{1}{k_{\ell}}+\frac{m}{k_{g}} \approx\frac{1}{1{,}20\times10^{-6}} +\frac{4{,}4\times10^{-5}}{4{,}10\times10^{-2}} \approx8,33\times10^{5}+1,07\times10^{-3},
logo o termo líquido domina e
K_{L}\approx1{,}20\times10^{-6}\\ \mathrm{m/s}.

Resposta

k_{\ell}=1{,}20\times10^{-6}\\ \mathrm{m/s} k_{g}=4{,}10\times10^{-2}\\ \mathrm{m/s} K_{L}=1{,}20\times10^{-6}\\ \mathrm{m/s}

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