Resolva as equações
\frac{5}{3 x^{2}-3}-\frac{1}{18}=\frac{1}{2 x-2}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação racional
\frac{5}{3x^{2}-3} \;-\;\frac{1}{18} \;=\;\frac{1}{2x-2}.
O conteúdo aqui é equação fracionária. A estratégia é:
  1. Determinar o domínio (proibir zeros dos denominadores).
  2. Fatorar os denominadores.
  3. Multiplicar ambos os lados pelo mínimo múltiplo comum (MMC) para eliminar frações.
  4. Resolver a equação polinomial resultante e conferir se as raízes são válidas.

Passo 2

Determinar o domínio e fatorar os denominadores:
  1. 3x^{2}-3=3(x^{2}-1)=3(x-1)(x+1), exige x\neq\pm1.
  2. 2x-2=2(x-1), exige x\neq1.
    Logo o domínio é x\neq1 e x\neq-1.

Passo 3

O MMC dos denominadores 3(x-1)(x+1), 18 e 2(x-1) é
18\,(x-1)(x+1).
Multiplicando a equação original por esse MMC, obtemos:
5\;\frac{18(x-1)(x+1)}{3(x-1)(x+1)} \;-\; \frac{1}{18}\;18(x-1)(x+1) \;=\; \frac{1}{2(x-1)}\;18(x-1)(x+1).
Isso simplifica para
30 - (x-1)(x+1) = 9(x+1).

Passo 4

Expandindo e coletando termos na forma polinomial:
30 - \bigl(x^{2}-1\bigr) = 9x + 9 \quad\Longrightarrow\quad 30 - x^{2} + 1 = 9x + 9
31 - x^{2} = 9x + 9 \quad\Longrightarrow\quad -x^{2} - 9x + 22 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x^{2} + 9x - 22 = 0.
Aplicando fórmula de Bhaskara com \Delta = 9^{2} - 4\cdot1\cdot(-22)=169,
x = \frac{-9 \pm 13}{2} \;\Longrightarrow\; x = 2 \quad\text{ou}\quad x = -11.

Passo 5

Verificar no domínio:
- Para x=2, os denominadores valem 3\cdot4-3=9 e 2\cdot2-2=2, não zero.
- Para x=-11, os denominadores valem 3\cdot121-3=360 e 2\cdot(-11)-2=-24, não zero.
Ambas as soluções são válidas.

Resposta

As soluções da equação são
x = 2 \quad\text{e}\quad x = -11.

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